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NOTES DU TRADUCTEUR.
en posant aussi
d’où
![{\displaystyle \left(1+e\right)^{-{\frac {1}{2}}}={\frac {\sqrt {1+{\overset {}{\alpha }}}}{\sqrt {2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd14c143d147a835a2f900111b5bdfc039c01109)
il vient
![{\displaystyle \int {\frac {\left(1+e\right)^{\frac {3}{2}}\,dv}{\left(1+e\cos v\right)^{2}{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+{\overset {}{\alpha }}}}\int {\frac {d\theta (1+\theta ^{2})}{\left(1+\alpha \theta ^{2}\right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4acbda92d4f56934f0c196fbc9053978ff720431)
En effectuant la division
et intégrant par série, on
trouve le développement donné par Gauss.
Le développement de
en fonction du sinus est
(1)
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d’où l’on déduit
(2)
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on a aussi
![{\displaystyle \sin \mathrm {E} ={\frac {2\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }{1+\operatorname {tang} ^{2}{\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }}={\frac {2\mathrm {T} ^{\frac {1}{2}}}{(1+\mathrm {T} )}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f3690f0605135fbf0a8458b780b4a4c0f49e4e6)
et par suite
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\mathrm {T} ^{\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {T} \right)^{-1}&=\sin \mathrm {E} \\2^{3}\mathrm {T} ^{\frac {3}{2}}\left(1+\mathrm {T} \right)^{-3}&=\sin ^{3}\mathrm {E} .\\\vdots \qquad \;\;&\quad \;\;\;\vdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2fd87a8d95cc6959776427e7300160400e8362e)
En développant par le binôme de Newton et en substituant dans (2),