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NOTES DU TRADUCTEUR.

en posant aussi

${\frac {1-e}{1+e}}=\alpha ,$ d’où  $\left(1+e\right)^{-{\frac {1}{2}}}={\frac {\sqrt {1+{\overset {}{\alpha }}}}{\sqrt {2}}},$

il vient

$\int {\frac {\left(1+e\right)^{\frac {3}{2}}\,dv}{\left(1+e\cos v\right)^{2}{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+{\overset {}{\alpha }}}}\int {\frac {d\theta (1+\theta ^{2})}{\left(1+\alpha \theta ^{2}\right)^{2}}}.$

En effectuant la division ${\frac {1+\theta ^{2}}{1+2\alpha \theta ^{2}+\alpha ^{2}\theta ^{4}}},$ et intégrant par série, on trouve le développement donné par Gauss.

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Note V (art. 40).

Le développement de $\mathrm {E}$ en fonction du sinus est

(1)

${\begin{aligned}\mathrm {E} =\sin \mathrm {E} +{\frac {1}{2.3}}&\sin ^{3}\mathrm {E} +{\frac {1.3}{2.4.5}}\sin ^{5}\mathrm {E} +{\frac {1.3.5}{2.4.6.7}}\sin ^{7}\mathrm {E} \\+&{\frac {1.3.5.7}{2.4.6.8.9}}\sin ^{9}\mathrm {E} +\mathrm {etc.} \,;\end{aligned}}$

d’où l’on déduit

(2)

${\begin{aligned}15(\mathrm {E} -\sin \mathrm {E} )&={\frac {5}{2}}\sin ^{3}\mathrm {E} +{\frac {45}{40}}\sin ^{5}\mathrm {E} +{\frac {75}{112}}\sin ^{7}\mathrm {E} \\&+{\frac {525}{1152}}\sin ^{9}\mathrm {E} +\ldots \end{aligned}}$

on a aussi

$\sin \mathrm {E} ={\frac {2\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }{1+\operatorname {tang} ^{2}{\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }}={\frac {2\mathrm {T} ^{\frac {1}{2}}}{(1+\mathrm {T} )}},$

et par suite

${\begin{aligned}2\mathrm {T} ^{\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {T} \right)^{-1}&=\sin \mathrm {E} \\2^{3}\mathrm {T} ^{\frac {3}{2}}\left(1+\mathrm {T} \right)^{-3}&=\sin ^{3}\mathrm {E} .\\\vdots \qquad \;\;&\quad \;\;\;\vdots \end{aligned}}$

En développant par le binôme de Newton et en substituant dans (2),