331
NOTE V.
on a le numérateur de l’expression de Gauss, multiplié par
en
agissant de la même manière pour le dénominateur
on
trouve
![{\displaystyle 9\mathrm {E} \!+\!\sin \mathrm {E} =10\sin \mathrm {E} \!+\!{\frac {9}{2.3}}\sin ^{3}\!\mathrm {E} \!+\!{\frac {9.3}{2.4.5}}\sin ^{5}\!\mathrm {E} \!+\!{\frac {9.3.5}{2.4.6.7}}\sin ^{7}\!\mathrm {E} \!+\!\mathrm {etc.} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a12c3e1a63d982caf2ecaef6d561b8ed471fa6a)
mais
et les autres termes sont ceux calculés
pour le numérateur, multipliés par 9.
En s’arrêtant aux termes en
on trouve, en divisant haut et bas
par
l’expression de
Nicolai a donné (Von Zach’s, Monatliche correspondenz, vol. XXVII,
p. 212) les formules exprimant les différentielles de l’anomalie vraie
et du rayon vecteur, dans une ellipse très-excentrique, en fonction
des différentielles de l’époque du passage de l’astre au périhélie, de
la distance périhélie et de l’excentricité. Ces formules s’obtiennent à
l’aide des équations de l’art. 40.
Si nous posons
nous avons, d’après l’art. 39,
(1)
|
|
|
et
![{\displaystyle \alpha ={\frac {75k{\sqrt {{\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {9}{5}}e}}}{2q^{\frac {3}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04d401a6638cc89a9d2db8053b0b2bea39cd62e3)
en différentiant l’équation (1) par rapport à
et
et en remarquant que l’on a
![{\displaystyle d\alpha ={\frac {d\alpha }{dq}}\,dq+{\frac {d\alpha }{de}}\,de,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d6dbe0a20d86b54ae384010929106cf9fa59009)
il vient
![{\displaystyle {\frac {dw}{2\cos ^{4}{\dfrac {1}{2}}w}}={\frac {\alpha }{75}}\,dt-{\frac {3\alpha t}{2.q.75}}\,dq+{\frac {9\alpha }{2(1+9e)}}\times {\frac {t}{75}}\,de}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c410911259abcb2aa39ab2e47e4fb88ea7ff4a32)
de la relation (art, 40),
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v={\frac {\gamma \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}w}{\sqrt {1-{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/341c0311cc2207330b1ecee09289a213f51780b1)