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NOTES DU TRADUCTEUR.

Si nous substituons dans l’équation (2) les logarithmes sinus relatifs aux angles que nous venons de trouver, nous obtenons, en employant les logarithmes vulgaires,

$l.\mathrm {Q} '=0,155665.$

Ainsi en prenant $\mathrm {OB} =-\,0,155665$ (fig. 7), nous aurons en menant par ce point une parallèle à l’axe des $x$ une ligne que le lieu géométrique ne devra pas dépasser ; les points $n$ et $n',$ dont les coordonnées sont respectivement,

${\begin{aligned}\omega '&=+\,36^{\circ }\,52'\,11''\!,64,&\omega '&=-\,36^{\circ }\,52'\,11''\!,64,\\l.\mathrm {Q} '&=\quad 0,155665,&l.\mathrm {Q} '&=\quad 0,155665\end{aligned}}$

sont donc deux points de la courbe cherchée. Cette courbe ne pouvant passer ni à droite de $\mathrm {A} n$ ni à gauche de $\mathrm {A} 'n',$ ni au-dessous de $nn',$ il est clair que les points $n$ et $n'$ sont des points de rebroussement.

Si nous différentions l’équation (2), il vient

$d.\log \mathrm {Q} '=\operatorname {cotang} (z-\omega ')(dz-d\omega ')-4\operatorname {cotang} z\,dz\,;$

mais l’équation (8), différentiée, donne aussi

$dz-d\omega '={\frac {4\sin ^{2}(z-\omega ')}{\sin ^{2}z}}\,dz,$

en substituant cette valeur dans l’équation ci-dessus, nous avons

$d.\log \mathrm {Q} '=4\operatorname {cotang} z\left({\frac {\operatorname {cotang} (z-\omega ')}{\operatorname {cotang} z}}{\frac {\sin ^{2}(z-\omega ')}{\sin ^{2}z}}-1\right)\,dz,$

ou, en ayant égard à la relation (8)

$d.\log \mathrm {Q} '=4\operatorname {cotang} z\left({\frac {4.\sin ^{2}(z-\omega ')}{\sin ^{2}z}}-1\right)\,dz.$

Mais nous avons déjà trouvé

$d\omega '=\left(1-{\frac {4\sin ^{2}(z-\omega ')}{\sin ^{2}z}}\right)dz,$

on déduit de ces deux relations,

(12)

${\frac {d.\log \mathrm {Q} '}{d\omega '}}=-\,4\operatorname {cotang} z.$