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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ORBITE.

VIII.

$\left\{{\begin{aligned}\quad r\sin v&=p\operatorname {cotang} \psi \operatorname {tang} \mathrm {F} =b\operatorname {tang} \psi \operatorname {tang} \mathrm {F} \\&={\frac {1}{2}}p\operatorname {cotang} \psi \left(u-{\frac {1}{u}}\right)={\frac {1}{2}}b\operatorname {tang} \psi \left(u-{\frac {1}{u}}\right).&&\end{aligned}}\right.$

En combinant les équations II et V, on déduit ensuite facilement,

IX.

$r\cos v=b\left(e-{\frac {1}{\cos \mathrm {F} }}\right)={\frac {1}{2}}b\left(2e-u-{\frac {1}{u}}\right).$

X.

$r=b\left({\frac {e}{\cos \mathrm {F} }}-1\right)={\frac {1}{2}}b\left[e\left(u+{\frac {1}{u}}\right)-2\right].$

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En différentiant la formule IV, on trouve (en regardant $\psi$ comme une quantité constante),

${\frac {du}{u}}={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(v+\psi )-\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(v-\psi )\right)dv={\frac {r\operatorname {tang} \psi }{p}}\,dv\,;$

et par suite,

$r^{2}dv={\frac {pr}{u\operatorname {tang} \psi }}\,du,$

ou, en substituant pour $r$ sa valeur donnée dans l’équation X,

$r^{2}dv=b^{2}\operatorname {tang} \psi \left[{\frac {1}{2}}e\left(1+{\frac {1}{u^{2}}}\right)-{\frac {1}{u}}\right]du.$

Intégrant cette équation de telle sorte que cette intégrale devienne nulle au périhélie, on a

${\begin{aligned}\int r^{2}dv&=b^{2}\operatorname {tang} \psi \left[{\frac {1}{2}}e\left(u-{\frac {1}{u}}\right)-\log u\right]=kt{\sqrt {\overset {}{p}}}{\sqrt {(1+\mu )}}\\&=kt\operatorname {tang} \psi {\sqrt {b}}{\sqrt {(1+\mu )}}.\end{aligned}}$

Le logarithme est ici hyperbolique ; si l’on veut se servir des logarithmes du système de Briggs, ou plus généralement du système dont le module $=\lambda$, et en négligeant la masse $\mu$ (que nous pouvons supposer inappréciable, pour les corps décrivant l’hyperbole), l’équation précédente prend la forme

XI.

${\frac {1}{2}}\lambda e{\frac {u^{2}-1}{u}}-\log u={\frac {\lambda kt}{b^{\frac {3}{2}}}},$