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LIVRE I, SECTION I.

liaire dans l’hyperbole ; il peut, avec presque autant de justesse, remplacer l’angle dont la tangente $=\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {e-1}{e+1}}},$ et que nous désignerons par ${\frac {1}{2}}\mathrm {F} ,$ afin de conserver l’analogie avec l’ellipse. De cette manière, nous recueillons les relations suivantes entre les quantités $v,\,r,\,u,\,\mathrm {F} ,$ où nous posons $a=-b,\,b$ représentant ainsi une quantité positive :

I.

$b=p\operatorname {cotang} ^{2}\psi .$

II.

$r={\frac {p}{1+e\cos v}}={\frac {p\cos \psi }{2\cos {\dfrac {1}{2}}(v-\psi )\cos {\dfrac {1}{2}}(v+\psi )}}.$

III.

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {F} =\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {e-1}{e+1}}}=\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\psi ={\frac {u-1}{u+1}}$

IV.

$u={\frac {\cos {\dfrac {1}{2}}(v-\psi )}{\cos {\dfrac {1}{2}}(v+\psi )}}={\frac {1+\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}\mathrm {F} }{1-\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}\mathrm {F} }}=\operatorname {tang} \left(45^{\circ }+{\frac {1}{2}}\mathrm {F} \right).$

V.

$\left\{{\begin{alignedat}{3}&{\frac {1}{\cos \mathrm {F} }}&&={\frac {1}{2}}\left(u+{\frac {1}{u}}\right)={\frac {1+\cos \psi \cos v}{2\cos {\dfrac {1}{2}}(v-\psi )\cos {\dfrac {1}{2}}(v+\psi )}}\\&&&={\frac {e+\cos v}{1+e\cos v}}\end{alignedat}}\right.$

En retranchant 1 aux deux membres de l’équation V, on trouve

VI.

$\left\{{\begin{alignedat}{3}&\sin {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\overset {}{r}}}&&=\sin {\frac {1}{2}}\mathrm {F} {\sqrt {\frac {\overset {}{p}}{(e-1)\cos \mathrm {F} }}}=\sin {\frac {1}{2}}\mathrm {F} {\sqrt {\frac {(e+1)b}{\cos \mathrm {F} }}}\\&&&={\frac {1}{2}}(u-1){\sqrt {\frac {\overset {}{p}}{(e-1)u}}}={\frac {1}{2}}(u-1){\sqrt {\frac {(e+1)b}{u}}}.\end{alignedat}}\right.$

Ajoutant maintenant 1 aux deux membres de la même équation, il vient

VII.

$\left\{{\begin{alignedat}{3}&\cos {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\overset {}{r}}}&&=\cos {\frac {1}{2}}\mathrm {F} {\sqrt {\frac {\overset {}{p}}{(e+1)\cos \mathrm {F} }}}=\cos {\frac {1}{2}}\mathrm {F} {\sqrt {\frac {(e-1)b}{\cos \mathrm {F} }}}\\&&&={\frac {1}{2}}(u+1){\sqrt {\frac {\overset {}{p}}{(e+1)u}}}={\frac {1}{2}}(u+1){\sqrt {\frac {(e-1)b}{u}}}.\end{alignedat}}\right.$

En divisant VI par VII, nous retrouvons III ; on obtient, en les multipliant,