33
RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ORBITE.
Ensuite, tant que
est considéré comme fonction de
et
on a
![{\displaystyle d\mathrm {N} ={\frac {\mathrm {N} }{t}}\,dt-{\frac {3}{2}}{\frac {\mathrm {N} }{b}}\,db.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f9c892ea07b4a46ac96bd12eb1684bfca1c7702)
En substituant cette valeur de
et aussi
de l’article précédent
seront exprimés en fonction de
et
Il faut du reste
répéter ici ce que nous avons dit plus haut, à savoir que si les variations
des angles
et
ne sont pas conçues, exprimées en parties du
rayon, mais en secondes, on devra diviser tous les termes qui contiennent
et
par
ou multiplier par ce nombre tous les
autres termes.
29
Puisque les quantités auxiliaires représentées par
dans
l’ellipse, prennent des valeurs imaginaires dans l’hyperbole, il ne
sera pas sans intérêt de rechercher leurs liaisons avec les quantités
réelles dont nous avons fait usage. Mettons donc en évidence
les principales relations, dans lesquelles nous désignons par
la quantité
imaginaire
![{\displaystyle \sin \varphi =e={\frac {1}{\cos \psi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c8b88faa50bb87e4aca1c057a09139cbd94ef2d)
![{\displaystyle \operatorname {tang} \left(45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}\varphi \right)={\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}=i{\sqrt {\frac {e-1}{e+1}}}=i\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98b281429b0f317a1e328d020a0c941c45e3de6e)
![{\displaystyle \operatorname {tang} \varphi ={\frac {1}{2}}\operatorname {cotang} \left(45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}\varphi \right)-{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} \left(45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}\varphi \right)=-{\frac {i}{\sin \psi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ac018fffab0883be9944963a1e8dfc9c4668adc)
![{\displaystyle \cos \varphi =i\operatorname {tang} \psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90404b5aeb824016f42a8b0b44c2957baf99292f)
![{\displaystyle \varphi =90^{\circ }\!\!+i\log(\sin \varphi +i\cos \varphi )=90^{\circ }\!\!-i\log \operatorname {tang} \left(45^{\circ }\!\!+{\frac {1}{2}}\psi \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee088f9358f91af4e9af22d0d52df05d3cfc968)
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {E} =i\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {F} ={\frac {i(u-1)}{u+1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc1a5f471e349b2a53f7f16cd0b616f35a7e5999)
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