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LIVRE I, SECTION I.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

suivante entre les variations différentielles des quantités $u,\,\psi ,\,\mathrm {N}$

${\frac {d\mathrm {N} }{\lambda }}=\left[{\frac {1}{2}}e\left(1+{\frac {1}{u^{2}}}\right)-{\frac {1}{u}}\right]du+{\frac {(u^{2}-1)\sin \psi }{2u\cos ^{2}\psi }}d\psi ,$

ou

${\frac {d\mathrm {N} }{\lambda }}={\frac {r}{bu}}\,du+{\frac {r\sin v}{b\cos \psi }}\,d\psi$

De là, en éliminant $du$ à l’aide de l’équation précédente, nous obtenons

${\frac {d\mathrm {N} }{\lambda }}={\frac {r^{2}}{b^{2}\operatorname {tang} \psi }}\,dv+\left(1+{\frac {r}{p}}\right){\frac {r\sin v}{b\cos \psi }}\,d\psi .$

ou

${\begin{aligned}dv&={\frac {b^{2}\operatorname {tang} \psi }{\lambda r^{2}}}\,d\mathrm {N} -\left({\frac {b}{r}}+{\frac {b}{p}}\right){\frac {\sin v\operatorname {tang} \psi }{\cos \psi }}\,d\psi \\&={\frac {b^{2}\operatorname {tang} \psi }{\lambda r^{2}}}\,d\mathrm {N} -\left(1+{\frac {p}{r}}\right){\frac {\sin v}{\sin \psi }}\,d\psi .\end{aligned}}$

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En différentiant l’équation X, relativement à $r,\,b,\,e,\,u,$ considérées comme variables, en substituant $de={\frac {\sin \psi }{\cos ^{2}\psi }}\,d\psi ,$ et éliminant $du$ au moyen de l’équation entre $d\mathrm {N} ,\,du$ et $d\psi$ donnée dans l’article précédent, il vient

${\begin{aligned}dr={\frac {r}{b}}\,db&+{\frac {b^{2}e(u^{2}-1)}{2\lambda ur}}\,d\mathrm {N} \\&+{\frac {b}{2\cos ^{2}\psi }}\left[\left(u+{\frac {1}{u}}\right)\sin \psi -\left(u-{\frac {1}{u}}\right)\sin v\right]\,d\psi .\end{aligned}}$

Le coefficient de $d\mathrm {N}$ se change, au moyen de l’équation VIII, en ${\frac {b\sin v}{\lambda \sin \psi }}\,;$ mais le coefficient de $d\psi ,$ en posant d’après l’équation IV, $u(\sin \psi -\sin v)=\sin(\psi -v),$ et ${\frac {1}{u}}(\sin \psi +\sin v)=\sin(\psi +v),$ se change en

${\frac {b\sin \psi \cos v}{\cos ^{2}\psi }}={\frac {p\cos v}{\sin \psi }},$

de sorte que l’on a

$dr={\frac {r}{b}}\,db+{\frac {b\sin v}{\lambda \sin \psi }}\,d\mathrm {N} +{\frac {p\cos v}{\sin \psi }}\,d\psi .$