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LIVRE I, SECTION I.

les grandes tables. Il ne sera donc pas superflu de donner une méthode spéciale à l’aide de laquelle on puisse éviter, dans ce cas, cette incertitude et obtenir une précision suffisante avec le seul secours des tables ordinaires.

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La méthode vulgaire, à l’aide de laquelle on remédie habituellement à ces inconvénients, repose sur les principes suivants. Dans une ellipse ou une hyperbole, dont $e$ est l’excentricité, $p$ le demi-paramètre et par suite, ${\frac {p}{1+e}}=q$ la distance périhélie, soit $v$ l’anomalie vraie correspondant à un intervalle $t$ écoulé depuis le passage au périhélie ; soit aussi, pour ce même intervalle et dans une parabole dont le demi-paramètre $=2q$ ou la distance périhélie $=q$, $w$ l’anomalie vraie correspondante ; la masse $\mu$ étant négligée de part et d’autre ou supposée égale. Il est clair qu’on doit alors avoir

$\int {\frac {p^{2}dv}{(1+e\cos v)^{2}}}:\int {\frac {4q^{2}dw}{(1+\cos w)^{2}}}={\sqrt {\overset {}{p}}}:{\sqrt {2{\overset {}{q}}}}$

les intégrales étant prises depuis $v=0$ et $w=0$ ; ou bien

$\int {\frac {(1+e)^{\frac {3}{2}}dv}{(1+e\cos v)^{2}{\sqrt {2}}}}=\int {\frac {2\,dw}{(1+\cos w)^{2}}}.$

En désignant ${\frac {1-e}{1+e}}$ par $\alpha$ et $\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v$ par $\theta$, on trouve pour la première intégrale

${\sqrt {(1\!+\!\alpha )}}\left[\theta +{\frac {1}{3}}\theta ^{3}(1\!-\!2\alpha )-{\frac {1}{5}}\theta ^{5}(2\alpha \!-\!3\alpha ^{2})+{\frac {1}{7}}\theta ^{7}(3\alpha ^{2}\!-\!4\alpha ^{3})-{\text{etc.}}\right]\!.$

La dernière égale $\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}w+{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}w.$

Il est facile de déterminer, au moyen de ces équations, $w$ d’après $\alpha$ et $v,$ et $v$ d’après $\alpha$ et $w,$ par le secours des séries infinies ; on peut, si cela convient mieux, introduire à la place de $\alpha$ l’expression

$1-e={\frac {2\alpha }{1+\alpha }}=\delta .$

Comme il est évident que pour $\alpha =0$ ou $\delta =0$ on a $v=w,$ ces séries prendront la forme suivante :