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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ORBITE.

À cette erreur provenant de la valeur erronée de $\mathrm {F}$ ou de $u,$ il faut ajouter celle déterminée dans V, afin d’avoir l’incertitude totale qui doit exister sur $v.$

VIII. Si l’on résout l’équation XI, art. 22, par le secours des logarithmes hyperboliques^(**), $\mathrm {F}$ ayant été choisie pour quantité auxiliaire, l’effet de l’erreur possible, d’après cette opération, sur la détermination de $v$ , est trouvée, par des raisonnements semblables, égale à

{\frac {(1+e\cos v)^{2}\omega '}{\operatorname {tang} ^{3}\psi }}\pm {\frac {3e\sin v(1+e\cos v)\omega }{\lambda \operatorname {tang} ^{2}\psi }}

où nous désignons par $\omega '$ l’erreur maximum dans les tables des logarithmes hyperboliques. La seconde partie de cette expression est identique avec la seconde partie de l’expression donnée dans l’art. VII ; mais la première partie est plus petite que la première de la même relation dans le rapport de $\lambda \omega '$ à $\omega ,$ c’est-à-dire dans le rapport de $1$ à $23,$ si l’on peut supposer que la table d’Ursin est exacte partout jusqu’à la huitième décimale, ou $\omega '=0,000000005.$

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Dans ces sections coniques, dont l’excentricité diffère peu de l’unité, c’est-à-dire dans les ellipses ou les hyperboles qui approchent de la forme parabolique, les méthodes exposées ci-dessus, soit pour la détermination de l’anomalie vraie qui correspond à une époque donnée, soit pour la détermination inverse^[1], ne souffrent donc pas toute la précision que l’on pourrait désirer ; puisque les erreurs inévitables croissantes, à mesure que la forme de l’orbite se rapproche de celle de la parabole, finissent même par dépasser toutes limites. Les grandes tables, qui donnent plus de sept décimales, diminueraient, il est vrai, cette incertitude, mais elles ne l’aboliraient pas ni n’empêcheraient qu’elle ne surpassât toutes limites dès que la forme de l’orbite approcherait trop près de la parabole. De plus, les méthodes enseignées ci-dessus deviennent, dans ce cas, assez incommodes, puisqu’une partie d’elles demande des essais indirects souvent répétés ; l’ennui de ce désagrément est même plus grand si l’on opère d’après

↑ Puisque le temps contient le facteur $a^{\frac {3}{2}}$ ou $b^{\frac {3}{2}}$ l’erreur commise sur $\mathrm {M}$ ou sur $\mathrm {N}$ augmente d’autant plus que $a={\frac {p}{1-e^{2}}}$ ou $b={\frac {p}{e^{2}-1}}$ devient plus grand.

[1] Puisque le temps contient le facteur $a^{\frac {3}{2}}$ ou $b^{\frac {3}{2}}$ l’erreur commise sur $\mathrm {M}$ ou sur $\mathrm {N}$ augmente d’autant plus que $a={\frac {p}{1-e^{2}}}$ ou $b={\frac {p}{e^{2}-1}}$ devient plus grand.

[1]