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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ESPACE.

par ce même nombre, si les variations de $i$ et $u$ sont supposées exprimées en secondes.

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La situation d’un point quelconque dans l’espace est déterminée le plus commodément par ses distances à trois plans se coupant à angles droits. En prenant le plan de l’écliptique pour l’un de ces plans, et en désignant par $z$ la distance du corps céleste à ce plan, prise positivement dans la partie boréale et négativement dans la partie australe, nous aurons évidemment $z=r'\operatorname {tang} \beta =r\sin \beta =r\sin i\sin u$. Les deux autres plans, que nous supposons aussi menés par le Soleil, projetteront des grands cercles sur la sphère céleste, qui couperont l’écliptique à angles droits et dont les pôles seront par suite situés dans l’écliptique et distants l’un de l’autre de 90°. Nous appelons pôle positif, celui, de chaque plan, situé du côté où les distances sont considérées comme positives. Soient, d’après cela, $\mathrm {N}$ et $\mathrm {N} +90^{\circ }$ les longitudes des pôles positifs, et supposons que les distances aux plans auxquels ils correspondent respectivement, soient désignées par $x$ et $y$. On apercevra alors facilement, que l’on a

${\begin{alignedat}{5}x&=r'\cos(\lambda -\mathrm {N} )&{}={}&r\cos \beta \cos(\lambda -{\text{☊ }})\cos(\mathrm {N} -{\text{☊ }})\\&&{}+{}&r\cos \beta \sin(\lambda -{\text{☊ }})\sin(\mathrm {N} -{\text{☊ }})\\[0.75ex]y&=r'\cos(\lambda -\mathrm {N} )&{}={}&r\cos \beta \sin(\lambda -{\text{☊ }})\cos(\mathrm {N} -{\text{☊ }})\\&&{}-{}&r\cos \beta \cos(\lambda -{\text{☊ }})\sin(\mathrm {N} -{\text{☊ }})\end{alignedat}}$

relations qui se changent en

${\begin{aligned}x=r\cos(\mathrm {N} -{\text{☊ }})\cos u+r\cos i\sin(\mathrm {N} -{\text{☊ }})\sin u\\y=r\cos i\cos(\mathrm {N} -{\text{☊ }})\sin u-r\sin(\mathrm {N} -{\text{☊ }})\cos u\end{aligned}}$

C’est pourquoi, si le pôle positif du plan des $x$ est placé dans le nœud ascendant lui-même, de sorte que $\mathrm {N} ={\text{☊ }}$, nous aurons entre les coordonnées $x$, $y$, $z$ les expressions les plus simples,

${\begin{aligned}x&=r\cos u\\y&=r\cos i\sin u\\z&=r\sin i\sin u\end{aligned}}$

Mais si cette supposition n’a pas lieu, les formules données ci-dessus acquerront cependant une forme presque aussi commode par l’introduction de quantités auxiliaires $a$, $b$, $\mathrm {A}$, $\mathrm {B}$ déterminées de telle sorte que l’on ait