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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ESPACE.

sième. Notre problème dépend donc de la solution d’un triangle sphérique dans lequel, d’un côté et des angles adjacents on veut déduire les autres parties. Nous supprimons, comme suffisamment connus, les principes ordinaires enseignés pour ce cas, dans la trigonométrie sphérique ; mais dans la pratique on emploie plus facilement une autre méthode, déduite de certaines équations, que l’on chercherait vainement dans nos ouvrages trigonométriques. Voici ces équations, dont nous nous servirons fréquemment dans la suite : $a$ , $b$ , $c$ désignent les côtés du triangle sphérique et $\mathrm {A}$ , $\mathrm {B}$ , $\mathrm {C}$ les angles qui leur sont respectivement opposés :

I.

{\frac {\sin {\dfrac {1}{2}}(b-c)}{\sin {\dfrac {1}{2}}a}}={\frac {\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {C} )}{\cos {\dfrac {1}{2}}\mathrm {A} }}

II.

{\frac {\sin {\dfrac {1}{2}}(b+c)}{\sin {\dfrac {1}{2}}a}}={\frac {\cos {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {C} )}{\sin {\dfrac {1}{2}}\mathrm {A} }}

III.

{\frac {\cos {\dfrac {1}{2}}(b-c)}{\cos {\dfrac {1}{2}}a}}={\frac {\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {B} +\mathrm {C} )}{\cos {\dfrac {1}{2}}\mathrm {A} }}

IV.

{\frac {\cos {\dfrac {1}{2}}(b+c)}{\cos {\dfrac {1}{2}}a}}={\frac {\cos {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {B} +\mathrm {C} )}{\sin {\dfrac {1}{2}}\mathrm {A} }}.

Quoiqu’il soit convenable, afin d’être plus concis, de passer ici la démonstration de ces formules, chacun pourra aisément les vérifier pour les triangles dans lesquels ni les côtés ni les angles ne dépassent 180°. Mais si la forme d’un triangle sphérique est conçue dans sa plus grande généralité, de sorte que ni les côtés ni les angles ne soient restreints à aucune limite (ce qui offre plusieurs avantages remarquables, mais exige certains éclaircissements préliminaires), des cas peuvent exister où il est nécessaire de changer le signe de toutes les équations précédentes ; mais puisque les mêmes signes sont évidemment rétablis aussitôt qu’un des angles ou l’un des côtés est augmenté ou diminué de 360°, on pourra toujours conserver en toute sûreté les signes tels que nous les donnons, soit qu’étant donnés un côté et les angles adjacents, ou un angle et les côtés adja-