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LIVRE I, SECTION II.

cents, on demande les autres parties ; toujours, en effet, on obtiendra par nos formules, ou les valeurs cherchées elles-mêmes, ou des valeurs différant de 360° des véritables, et par conséquent équivalentes à celles-ci. Nous réservons pour une autre occasion une explication plus complète de ce sujet, parce que l’on pourra facilement, par une induction rigoureuse, c’est-à-dire au moyen d’une complète énumération de tous les cas, prouver que les principes que nous établissons par ces formules, tant pour la solution de notre problème que pour d’autres questions, conviennent en général dans tous les cas.

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En désignant, comme ci-dessus, la longitude du nœud ascendant de l’orbite sur l’écliptique par ${\text{☊ }}$, l’inclinaison par $i\,;$ ensuite la longitude du nœud ascendant du nouveau plan relativement à l’écliptique par $n$, l’inclinaison par $\varepsilon$ ; la distance du nœud ascendant de l’orbite, dans le nouveau plan, au nœud ascendant du nouveau plan, dans l’écliptique, par ${\text{☊ }}'$ (c’est l’arc $n{\text{☊ }}'$ dans la fig. 2), l’inclinaison de l’orbite sur ce nouveau plan par $i'$ ; enfin l’arc de ${\text{☊ }}$ à ${\text{☊ }}'$ selon la direction du mouvement par $\Delta ,$ les côtés de notre triangle sphérique seront ${\text{☊ }}-n,$ ${\text{☊ }}',$ $\Delta ,$ et les angles opposés $i',$ $180-i,$ $\varepsilon .$ De là on aura, d’après les formules de l’article précédent,

${\begin{alignedat}{5}\sin {\frac {1}{2}}i'&&{}\sin {\frac {1}{2}}({\text{☊ }}'+\Delta )&=\sin {\frac {1}{2}}({\text{☊ }}-n)&&{}\sin {\frac {1}{2}}(i+\varepsilon )\\[0.5ex]\sin {\frac {1}{2}}i'&&{}\cos {\frac {1}{2}}({\text{☊ }}'+\Delta )&=\cos {\frac {1}{2}}({\text{☊ }}-n)&&{}\sin {\frac {1}{2}}(i-\varepsilon )\\[0.5ex]\cos {\frac {1}{2}}i'&&{}\sin {\frac {1}{2}}({\text{☊ }}'-\Delta )&=\sin {\frac {1}{2}}({\text{☊ }}-n)&&{}\cos {\frac {1}{2}}(i+\varepsilon )\\[0.5ex]\cos {\frac {1}{2}}i'&&{}\cos {\frac {1}{2}}({\text{☊ }}'-\Delta )&=\cos {\frac {1}{2}}({\text{☊ }}-n)&&{}\cos {\frac {1}{2}}(i-\varepsilon ).\end{alignedat}}$

Les deux premières équations fourniront ${\frac {1}{2}}({\text{☊ }}'+\Delta )$ et $\sin {\frac {1}{2}}i'\,;$ les deux dernières, ${\frac {1}{2}}({\text{☊ }}'-\Delta )$ et $\cos {\frac {1}{2}}i'\,;$ de ${\frac {1}{2}}({\text{☊ }}'+\Delta )$ et ${\frac {1}{2}}({\text{☊ }}'-\Delta )$ s’obtiendront ${\text{☊ }}'$ et $\Delta \,;$ de $\sin {\frac {1}{2}}i'$ ou $\cos {\frac {1}{2}}i'$ (dont l’accord servira à confirmer le calcul) on déduira $i'.$ L’ambiguïté, s’il faut prendre ${\frac {1}{2}}({\text{☊ }}'+\Delta )$