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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ESPACE.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

aient leurs pôles situés par les longitudes $\mathrm {N}$ et $\mathrm {N} +90^{\circ },$ les équations suivantes se déduisent de suite :

${\begin{alignedat}{5}r'&\cos(\lambda -\mathrm {N} )&{}-{}&\mathrm {R} '\cos(\mathrm {L} -\mathrm {N} )&={}&\Delta '\cos(l-\mathrm {N} ),\\r'&\sin(\lambda -\mathrm {N} )&{}-{}&\mathrm {R} '\sin(\mathrm {L} -\mathrm {N} )&={}&\Delta '\sin(l-\mathrm {N} ),\\r'&\operatorname {tang} \beta &{}-{}&\mathrm {R} '\operatorname {tang} \mathrm {B} &={}&\Delta '\operatorname {tang} b,\end{alignedat}}$

dans lesquelles l’angle $\mathrm {N}$ est entièrement arbitraire.

La première et la seconde équation détermineront immédiatement $l-\mathrm {N}$ et $\Delta '$, d’où $b$ se réduira au moyen de la troisième ; à l’aide de $b$ et de $\Delta '$ nous aurons $\Delta$. Pour que maintenant, le travail du calcul s’exécute le plus commodément, nous déterminons l’angle arbitraire $\mathrm {N}$ des trois manières suivantes :

I. En posant $\mathrm {N} =\mathrm {L}$, nous ferons

${\begin{aligned}{\frac {r'}{\mathrm {R} '}}\sin(\lambda -\mathrm {L} )&=\mathrm {P} ,&{\frac {r'}{\mathrm {R} '}}\cos(\lambda -\mathrm {L} )-1&=\mathrm {Q} \end{aligned}}$

et $l-\mathrm {L}$, ${\frac {\Delta '}{\mathrm {R} '}}$, et $b$ seront obtenus par les formules

${\begin{aligned}\operatorname {tang} (l-\mathrm {L} )&={\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {Q} }},\\{\frac {\Delta '}{\mathrm {R} '}}&={\frac {\mathrm {P} }{\sin(l-\mathrm {L} )}}={\frac {\mathrm {Q} }{\cos(l-\mathrm {L} )}},\\\operatorname {tang} b&={\frac {{\dfrac {r'}{\mathrm {R} '}}\operatorname {tang} \beta -\operatorname {tang} \mathrm {B} }{\dfrac {\Delta '}{\mathrm {R} '}}}.\end{aligned}}$

II. En posant $\mathrm {N} =\lambda$, nous ferons

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {R} '}{r'}}\sin(\lambda -\mathrm {L} )&=\mathrm {P} ,&1-{\frac {\mathrm {R} '}{r'}}\cos(\lambda -\mathrm {L} )&=\mathrm {Q} ,\end{aligned}}$

et l’on aura

${\begin{aligned}\operatorname {tang} (l-\lambda )&={\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {Q} }},\\{\frac {\Delta '}{r'}}&={\frac {\mathrm {P} }{\sin(l-\lambda )}}={\frac {\mathrm {Q} }{\cos(l-\lambda )}},\\\operatorname {tang} b&={\frac {\operatorname {tang} \beta -{\dfrac {\mathrm {R} '}{r'}}\operatorname {tang} \mathrm {B} }{\dfrac {\Delta '}{r'}}}.\end{aligned}}$