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0 = 2 - 2e^2ω (e^λω - e^ω(2-λ)) (e^λω - e^-λω) (cos.λω + cos.(1-λ)ω)

si on y fait λ=${\tfrac {1}{2}}$, elle devient

0 = 2 - 2e^2ω (e^{${\tfrac {1}{2}}$ω} - e^{${\tfrac {3}{2}}$ω}) (e^{${\tfrac {1}{2}}$ω} - e^{-${\tfrac {1}{2}}$ω}) (2cos.${\tfrac {1}{2}}$ω)

Or, celle-ci n’est pas satisfaite par la supposition sin. ${\tfrac {1}{2}}$ω = 0 ; elle le serait seulement par la supposition ${\tfrac {1}{2}}$ω = 0 ou ${\tfrac {1}{2}}$ω égal à un infiniment petit, cas dont on fait abstraction.

La solution sin. ${\tfrac {1}{2}}$ω = 0 ou ${\tfrac {1}{2}}$ω = Kπ est d’ailleurs inadmissible, puisqu’elle donne des valeurs infinies pour les coefficients γ, γ’, δ’, page 153 (et toujours en faisant λ=${\tfrac {1}{2}}).$ C’est ce qu’aurait dû remarquer Euler, lorsqu’il dit, page 156 : Multiplicemus omnes coefficientes per sin. ${\tfrac {1}{2}}$ω. On peut bien multiplier l’ordonnée d’une courbe par une constante, afin de rendre cette courbe sensible par une construction géométrique, mais on ne peut pas multiplier par zéro. Il n’y a donc que la seconde solution qui soit légitime, et quant à celle-ci je ne vois rien à lui objecter.

Lorsque M^lle Sophie a voulu considérer le cas général elle est, ce me semble, tombée dans la même erreur qu’Euler,^[1] en faisant sin.λω=0.

1. Léonard Euler, mathématicien, né à Bâle en 1707, mort à Pétersbourg en 1783.