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On distinguait la section carrée et la section ronde, et l’unité de section était celle qui avait l’unité de longueur pour côté ou pour diamètre. Frontin note en passant la différence entre les deux sections, et son calcul est juste^[1].

Une, autre espèce d’unité de section, dit Frontin, fut inaugurée, soit par Agrippa, soit par l’architecte Vitruve^[2], et devint bientôt le module le plus usuel : ce fut le quart de doigt. Mais le tuyau le plus petit façonné d’après cette unité fut le quinaire, dont le diamètre était de cinq unités, soit cinq quarts de doigt. Le tuyau de six quarts de doigt fut appelé sénaire, celui de sept quarts le septénaire, et ainsi de suite jusqu’au vicenaire, d’un diamètre égal à vingt quarts de doigt, soit à cinq doigts^[3].

A partir du vicenaire, la section des tuyaux fut évaluée, non plus par le nombre de quarts de doigt que mesurait le diamètre, ni par le nombre de quinaires contenus dans cette section, mais par le nombre de doigts carrés qu’elle comprenait. Le tuyau dont l’aire contenait 25 doigts carrés fut appelé tuyau de 25 (vicesimum quinum), et ainsi de suite, le trentenaire contenant 30 doigts carrés, jusqu’au tuyau de 120 doigts carrés (centenum vicesimum).

Le tuyau vicenaire empruntait son nom aux deux manières de compter. En effet, un cercle, de 20 doigts carrés et un cercle de 20 quarts de doigt ou 5 doigts de diamètre donnent deux surfaces à peu près égales, la première étant un peu plus grande^[4].

Il y avait, en tout, vingt-cinq modules, dont sept avant le vicenaire, et les autres obtenus en comptant de 5 en 5 depuis

1. Archimède évaluant à 22/7 le rapport de la circonférence au diamètre, on trouve que le carré est bien, comme dit Frontin, de 3/14 de ses parties plus grand que le rond, et celui-ci de 3/11 des siennes plus petit que le carré.
2. Il n’est pas sûr que ce soit l’auteur du célèbre traité. En effet, nous avons vu (p. 179, 180) que Vitruve mesurait les tuyaux d’après la longueur du périmètre, ce qui est un système tout à fait différent. D’après lui, le tuyau cinquantenaire est formé d’une lame qui, avant d’être repliée, a une largeur de 50 doigts et qui, repliée, a par conséquent un périmètre moyen de 50 doigts. « Ex lalitudine autem lamnarum, quot digitos habuerint, antequam in rotundationem flectantur, magnitudinum ita nomina concipiunt fistulae : namque quae lamna fuerit digitorum quinquaginta cum fistula perficielur ex ea lamna, vocabitur quinquagenaria, similiterque reliquae (viii, 7). » Or, si nous nous reportons au tableau ci-contre, p. 329, nous verrons que le périmètre du cinquantenaire, d’après Frontin, est d’un peu plus de 25 doigts seulement.
3. De Aquis, 28. On comptait aussi par le nombre de quinaires que comportait une section (De Aq., 27).
4. En effet, la surface du tuyau de 5 doigts de diamètre est égale à ${\dfrac {\pi *25}{4}}=19.625$. Le tuyau vicenaire calculé d’après l’autre système avait donc un cinquantième de plus environ.