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posée, appartient à une section conique, il faut les différencier
deux fois de suite ; ce qui donne :
et substituer dans l’équation du cinquième ordre les valeurs
de . Or, par cette substitution l’équation est satisfaite
donc la proposée appartient à une section conique et a pour
intégrale l’équation.
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qui contient deux constantes de trop ; il faut donc trouver entre
les cinq constantes deux relations.
Pour cela il faut différencier trois fois consécutives l’équation ; la première différenciation donne :
qui, faisant pour abréger,
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et
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devient
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différenciant ensuite, on a :
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Si l’on substitue les valeurs de dans la proposée ,
on a l’équation suivante, qui est composée de trois facteurs :
Or, de ces trois facteurs, les deux premiers ne sont pas utiles ;
en effet, le premier, , c’est-à-dire ne peut devenir nul par lui-même, à moins que l’on ait ,
ce qui fait trois relations ; tandis qu’il n’en faut que deux.
Le second, ne peut devenir nul, à moins
que l’on ait ce qui fait également trois relations ; et si dans le même facteur on faisoit il
faudroit que toutes les constantes fussent nulles chacune en particulier.
Il n’y a donc que le troisième facteur qui devient nul au
moyen des deux relations suivantes :