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Une seule correspond au point $\mathrm {K} =2$

2 correspondent au point $\mathrm {K} =3$

3 correspondent au point $\mathrm {K} =4$

1 correspondent au point $\mathrm {K} =12$

La probabilité d’amener 2 est ${\frac {1}{36}}$

La probabilité d’amener 3 est ${\frac {2}{36}}$

La probabilité d’amener 4 est ${\frac {3}{36}}$

Prenons le problème plus général de $n$ dés ; le nombre total des cas possibles est $6^{n}$ : en effet, soit $\alpha _{1}$ $\alpha _{2}$… $\alpha _{n}$ une des combinaisons, chacun des nombres $\alpha$ est susceptible de six valeurs, 1, 2, 3,…, 6 ; donc le nombre cherché est celui des combinaisons avec répétition de six lettres $n$ à $n$, soit $6^{n}$.

Le point total devant être un nombre donné à l’avance, $\mathrm {K}$,

$\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n}=\mathrm {K}$.

Considérons l’un des $6^{n}$ cas possibles, et, à ce cas, faisons correspondre le monome

$t_{1}^{\alpha _{1}}+t_{2}^{\alpha _{2}}+\ldots +t_{n}^{\alpha _{n}}$.

Faisons la somme $\Pi$ de ces monomes en faisant varier $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ de 1 à 6.

$\Pi =\Sigma \ t_{1}^{\alpha _{1}}+t_{2}^{\alpha _{2}}+\ldots +t_{n}^{\alpha _{n}}$,

qui peut s’écrire

$=(t_{1}+t_{1}^{2}+\ldots +t_{1}^{6})(t_{2}+t_{2}^{2}+\ldots +t_{2}^{6})\ldots (t_{n}+t_{n}^{2}+\ldots +t_{n}^{6})$.