et des nombres infinis. Ce n'est donc pas sur elles qu'on peut espérer fonder cette distinction.
§ 5. — LE MÉMOIRE DE M. ZERMELO
C'est dans une tout autre direction que M. Zermelo cherche la solution des difficultés que nous avons signalées. Il s'efforce de poser un système d'axiomes a priori, qui doivent lui permettre d’établir toutes les vérités mathématiques sans être exposé à la contradiction. Il y a plusieurs manières de concevoir le rôle des axiomes ; on peut les regarder comme des décrets arbitraires qui ne sont que les définitions déguisées des notions fondamentales. C'est ainsi qu'au début de la géométrie, M. Hilbert introduit des « choses » qu'il appelle points, droites et plans, et que, oubliant ou paraissant oublier un instant le sens vulgaire de ces mots, il pose entre ces choses diverses relations qui les définissent.
Pour que cela soit légitime, il faut démontrer que les axiomes ainsi introduits ne sont pas contradictoires, et M. Hilbert y a parfaitement réussi en ce qui concerne la géométrie, parce qu'il supposait l'analyse déjà constituée et qu'il a pu s'en servir pour cette démonstration. M. Zermelo n’a pas démontré que ses axiomes étaient exempts de contradiction, et il ne pouvait le faire, car, pour
