PROBLÈME DE SAINT- VENANT 195 En eiïet i,' est la rotation des axes dans la section moyenne ^ =r o et il suffit pour l'annuler d'imprimer à tout le cylindre une rotation égale et contraire, sans déformation. On aura alors : j ^0=^; ( b, =zb\ Je dis que le moment de torsion est proportionnel à èj. L'axe des z intersection des deux plans de symétrie zox, zoy est un axe de symétrie. Si l'on a une position d'équilibre, on en déduit évidemment une autre en changeant ;, r , , x, y en—Ç, — r,, — x^ — y. Dans cette opération le moment de torsion ne change pas. D'autre part, changer ^ et y en — a; et — y, c'est changer î< en — M et par suite f [xi) en /"(— w). Si on remplace ensuite
- etr,par—;et—
y,, on aura : \-\- V(^=z — f[ — u)-= — a-\-bu—CU-. Or le moment de torsion dépend linéairement des coeffi- cients de/" (m), comme il ne change pas il est indépendant de a etdec. C'est donc une fonction linéaire de è^ eti,'. Le plan des zx est un plan de symétrie, si l'on remplace y et -^ par — y ci — Yj on aura encore une position déquilibre. Mais ici le moment de torsion a changé de signe. A quoi cela correspond-il ? Changer y en— y, c'est changer u en û et par conséquent f(m)enf(Ji)z=a -\-bu--cïr.
