PROBLÈME DE l'ÉLÂSTIQUE 207 point fixe n'est pas résolu dans toute sa généralité, mais il Test dans quelques cas particuliers. Le plus simple est celui du mouvement pendulaire. Le solide, abandonné sans vitesse initiale, a l'un de ses plans principaux d'inertie vertical et contenant le point fixe. On a dans ce cas un mouvement plan ; le problème correspondant est celui de la courbe élastique plane qui s'obtient en suppo- sant A'B' soumise à une force unique, située dans un des plans de symétrie primitifs de la verge. La courbe élastique plane jouit de la propriété caractéris- tique suivante signalée par Halphen. Soient AF la force appliquée à l'extrémité A, N un point do la courbe. Le plan NAP est un plan prin- cipal d'inertie de la verge, la perpendi- culaire à ce plan en N est l'un des axes d'inertie de la section droite correspon- dante. Le théorème du moment fléchissant montre donc que la courbure en N est proportionnelle au moment de AF par rap- port au point N, c'est-à -dire à AP X NQ . Donc la courbure en N est proportionnelle à NQ et, si l'on prend AF pour axe des a;, la courbe est telle que le produit du rayon de courbure par l'ordonnée soit constant. La solution du problème de la courbe élastique plane dépend des fonctions elliptiques. Dans le mouvement à la Poinsot, c'est-à-dire si GP est nul, on peut encore résoudre le problème du corps solide par les fonctions elliptiques. A ce cas correspond celui où G'P' est nul,
