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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.
Cas où le temps n’entre pas explicitement dans les équations.
38.Dans ce qui précède, nous avons supposé que les fonctions
qui entrent dans les équations différentielles (1),
dépendent du temps
Les résultats seraient modifiés si le temps
n’entre pas dans ces équations.
Il y a d’abord entre les deux cas une différence qu’il est impossible
de ne pas apercevoir. Nous avions supposé dans ce qui précède
que les
étaient des fonctions périodiques du temps et que
la période était
il en résultait que, si les équations admettaient
une solution périodique, la période de cette solution devait être
égale à
ou à un multiple de
Si, au contraire, les
sont
indépendants de
la période d’une solution périodique peut être
quelconque.
En second lieu, si les équations (1) admettent une solution périodique
(et si les
ne dépendent pas de
), elles en admettent
une infinité.
Si, en effet,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1}(t),&x_{2}&=\varphi _{2}(t),&&\dots ,&x_{n}&=\varphi _{n}(t)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e583afa2ba183480732d12ec5d2c62cf5dada3f5)
est une solution périodique des équations (1), il en sera de même,
quelle que soit la constante
de
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1}(t+h),&x_{2}&=\varphi _{2}(t+h),&&\dots ,&x_{n}&=\varphi _{n}(t+h).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/720f271c8ded24c1c7b544e5ab911bbdc61038c7)
Ainsi le cas sur lequel nous nous sommes étendus d’abord et dans
lequel, pour
les équations (1) admettent une solution périodique
et une seule, ne peut se présenter si les
ne dépendent pas
de
Plaçons-nous donc dans le cas où le temps
n’entre pas explicitement
dans les équations (1) et supposons que pour
ces
équations admettent une solution périodique de période
(4)
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Soit
la valeur de
pour
soit
la valeur de
pour
Les
seront des fonctions holomorphes de
de
et de
s’annulant avec ces variables.