89
SOLUTIONS PÉRIODIQUES.
Cas où le temps n’entre pas explicitement dans les équations.
38.Dans ce qui précède, nous avons supposé que les fonctions
qui entrent dans les équations différentielles (1),
dépendent du temps Les résultats seraient modifiés si le temps
n’entre pas dans ces équations.
Il y a d’abord entre les deux cas une différence qu’il est impossible
de ne pas apercevoir. Nous avions supposé dans ce qui précède
que les étaient des fonctions périodiques du temps et que
la période était il en résultait que, si les équations admettaient
une solution périodique, la période de cette solution devait être
égale à ou à un multiple de Si, au contraire, les sont
indépendants de la période d’une solution périodique peut être
quelconque.
En second lieu, si les équations (1) admettent une solution périodique
(et si les ne dépendent pas de ), elles en admettent
une infinité.
Si, en effet,
est une solution périodique des équations (1), il en sera de même,
quelle que soit la constante de
Ainsi le cas sur lequel nous nous sommes étendus d’abord et dans
lequel, pour les équations (1) admettent une solution périodique
et une seule, ne peut se présenter si les ne dépendent pas
de
Plaçons-nous donc dans le cas où le temps n’entre pas explicitement
dans les équations (1) et supposons que pour ces
équations admettent une solution périodique de période
(4)
|
|
|
Soit la valeur de pour soit
la valeur de pour
Les seront des fonctions holomorphes de de
et de s’annulant avec ces variables.