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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.
entre les équations (3), et l’on obtiendra une équation unique
analogue à l’équation de même forme du numéro précédent.
Cette équation pourra être regardée comme représentant une
courbe passant par l’origine, et l’étude de cette courbe fera connaître
toutes les circonstances qui pourront se présenter.
Nous rencontrerons d’ailleurs absolument les mêmes particularités
que dans le numéro précédent.
Par exemple, les solutions périodiques, quand on fera varier
d’une manière continue, ne pourront disparaître que par couples,
à la façon des racines des équations algébriques.
Il pourra aussi arriver que, si l’on fait et il existe
une infinité de solutions périodiques. Alors est divisible par
et l’on peut écrire
de telle façon que la courbe se décompose en deux, la droite
et la courbe On aura, dans ce cas, avantage à
remplacer l’équation
par l’équation
Il arrivera même que quelques-unes des fonctions soient
divisibles par de telle façon que, par exemple,
étant des fonctions holomorphes de
des et de
On aura alors avantage à remplacer les équations (3) par les suivantes :
Nous en verrons des exemples dans la suite.
Si l’on suppose qu’il existe une intégrale
les équations (3) ne sont plus distinctes et on les remplacera avec avantage par les suivantes