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CHAPITRE III.

où

$\mathrm {C} =\mathrm {F} [\varphi _{1}(0),\varphi _{2}(0),\dots ,\varphi _{n}(0)],$

pendant que $\lambda$ est une constante quelconque.

On pourra aussi remplacer les équations (3) par les suivantes :

$\beta _{n}=0,\qquad \tau =0,\qquad \psi _{2}=\psi _{3}=\dots =\psi _{n}=0\,;$

d’où cette conséquence importante : dans le cas général, il n’y a pas, pour les petites valeurs de $\mu ,$ de solution périodique ayant même période $\mathrm {T}$ que pour $\mu =0\,;$ au contraire, s’il existe une intégrale $\mathrm {F} =\mathrm {const.,}$ on pourra trouver, pourvu que $\mu$ soit assez petit, une solution périodique ayant précisément pour période $\mathrm {T} .$

En effet, si l’on n’a pas

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}=0$

pour

$x_{i}=\varphi _{i}(0),$

les équations

$\psi _{2}=\psi _{3}=\dots =\psi _{n}=0$

entraînent $\psi _{1}=0.$

Voici une autre circonstance que nous avons rencontrée dans le numéro précédent et que nous retrouverons ici.

Soient $\beta _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=0,$ $\beta _{i}+\psi _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=\mathrm {T} +\tau ,$ et $\beta _{i}+\psi '_{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=k\mathrm {T} +\tau ,$ $k$ étant un entier.

Imaginons que le déterminant fonctionnel des $\psi _{i}$ par rapport à $\beta _{1},$ $\beta _{2},$ $\dots ,$ $\beta _{n-1},$ $\tau$ ne soit pas nul, mais que le déterminant fonctionnel des $\psi '_{i}$ soit nul.

Éliminons $\beta _{2},\beta _{3},\dots ,\beta _{n}$ et $\tau$ entre les équations

$\psi _{i}=0,\quad \beta _{n}=0\,;$

nous obtiendrons l’équation unique

$\Phi (\beta _{1},\mu )=0,$

que nous regarderons comme représentant une courbe ; cette courbe a un point simple à l’origine.

Éliminons maintenant $\beta _{2},$ $\beta _{3},$ $\dots ,$ $\beta _{n}$ et $\tau$ entre les équations

$\psi '_{i}=0,\qquad \beta _{n}=0,$