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CHAPITRE III.
en effet, comment M. Hill a procédé pour déterminer
il a calculé, pour différentes valeurs de
et de
les fonctions
![{\displaystyle f_{1}(\mathrm {T} ,0,\eta _{0}),\quad f_{2}(\mathrm {T} ,0,\eta _{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c507e6b740761b94f148debed4960ce577b5372b)
et il a déterminé ensuite par interpolation les valeurs de
et
de
pour lesquelles ces deux fonctions s’annulent. Si le déterminant
fonctionnel de
et de
s’annulait précisément pour ces
valeurs, l’interpolation serait devenue impossible par les procédés
ordinaires. Nous devons donc conclure que la classe de satellites
découverte par M. Hill peut être prolongée au delà de la Lune de
lunaison maximum.
Que devient donc, au delà de cette Lune, la forme de l’orbite ?
Les valeurs de
et de
dépendent du temps
et du paramètre
puisque l’autre valeur initiale
est donnée en fonction de
par les équations (2).
Si
et
sont assez petits,
et
sont développables suivant
les puissances de ces deux variables. De plus, par raison de symétrie,
ne contiendra que des puissances impaires de
et
ne
contiendra que des puissances paires de
Nous aurons donc
![{\displaystyle \xi =\xi '_{0}t+{\frac {\xi _{0}'''}{6}}t^{3}+{\frac {\xi _{0}^{\mathrm {V} }}{120}}t^{5}+\dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2741e608cd7280b6f2078e6998f447f585edff1d)
étant la valeur initiale de la dérivée
ième de ![{\displaystyle \xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301954fda87cb533b5ff06a995680fb94c521266)
Si
et
sont assez petits, je puis, sans erreur sensible, réduire
à ses deux premiers termes ; de plus,
est développable
suivant les puissances croissantes de
mais, comme
est très
petit, je puis réduire
à la valeur que prend cette quantité pour
Or, pour
on a
![{\displaystyle \xi _{0}'''={\frac {-2\mu \,n}{\left(\eta _{0}^{0}\right)^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0deef7033e48a686e92b1a765ab75bf1ccba6b36)
il vient donc
(3)
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Pour les Lunes considérées par M. Hill et dont la lunaison est
moindre que celle de la Lune de lunaison maximum,
est négatif,
les deux termes du second membre de (3) sont de même
signe, et
ne peut s’annuler pour des valeurs très petites de
si
ce n’est pour