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SOLUTIONS PERIODIQUES.

on a

$\xi _{0}=\xi '_{0}=\eta '_{0}=0,$

et j’appelle $\eta _{0}^{0}$ la valeur correspondante de $\eta _{0}.$

Au bout d’un temps $\mathrm {T} ,$ égal au quart d’une période, cette Lune se trouvera en conjonction symétrique, et l’on aura

$\eta =0,\quad \xi '=0.$

Considérons maintenant une autre solution particulière de nos équations différentielles, et soient

$0,\quad \xi '_{0},\quad \eta _{0},\quad 0$

les valeurs initiales de

$\xi ,\quad \xi ',\quad \eta ,\quad \eta ',$

de telle façon qu’à l’origine des temps on soit en quadrature symétrique.

Considérons les valeurs de $\eta$ et de $\xi '$ au bout du temps $\mathrm {T} +\tau \,;$ et soient

${\begin{aligned}\eta &=f_{1}(\mathrm {T} +\tau ,\,\xi '_{0},\,\eta _{0}),\\\xi '&=f_{2}(\mathrm {T} +\tau ,\,\xi '_{0},\,\eta _{0}).\\\end{aligned}}$

$f_{1}$ et $f_{2}$ seront développables suivant les puissances de $\tau ,$ de $\xi '_{0}$ et de $\eta _{0}-\eta _{0}^{0},$ et s’annuleront pour

$\tau =\xi '_{0}=0,\quad \eta _{0}=\eta _{0}^{0}.$

Si l’on a

(2)

$f_{1}=f_{2}=0,$

on sera, au bout du temps $\mathrm {T} +\tau ,$ en conjonction symétrique, et la solution sera périodique de période $4\mathrm {T} +4\tau .$

On peut tirer des équations (2) $\tau$ et $\eta _{0}$ en fonctions de $\xi '_{0},$ et $\tau$ et $\eta _{0}$ seront développables suivant les puissances de $\xi _{0}.$

Il n’y aurait d’exception en vertu du n^o 30 que si le déterminant fonctionnel de $f_{1}$ et $f_{2}$ par rapport à $\tau$ et $\eta _{0}$ s’annulait précisément pour

$\tau =\xi '_{0}=0,\quad \eta _{0}=\eta _{0}^{0}.$

Il est extrêmement invraisemblable qu’il en soit ainsi ; quelques doutes pourraient cependant encore subsister, si les quadratures mécaniques de M. Hill ne prouvaient nettement le contraire. Voici,