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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.
ces trois nombres seront commensurables entre eux,
puisqu’ils sont proportionnels aux nombres et
Ils nous conduiront donc à une solution périodique de période
de telle façon que nous aurons
(14)
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les et les étant des fonctions développables suivant les
puissances de et de et périodiques en mais de façon que la
période dépende de
Si dans nous remplaçons les et les par
leurs valeurs (14), doit devenir une constante indépendante du temps [puisque
est une des intégrales des équations (1)]. Mais cette
constante, qui est dite constante des forces vives, dépendra de
et de et pourra être développée suivant les puissances croissantes
de ces variables.
Si la constante des forces vives est une donnée de la question, l’équation
peut être regardée comme une relation qui lie à Si donc nous
nous donnons arbitrairement il existera toujours une solution
périodique, quelle que soit la valeur choisie pour cette constante ;
mais la période dépendra de et par conséquent de
Un cas plus particulier que celui que nous venons de traiter en
détail est celui où il n’y a que 2 degrés de liberté. ne dépend
alors que de quatre variables,
et la fonction ne dépend plus que d’une seule variable
Les relations (6) se réduisent alors à
(15)
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et le hessien de se réduit à
d’où cette conclusion :
À chacune des racines simples de l’équation (15) correspond
une solution périodique des équations (1), qui existe pour toutes
les valeurs de suffisamment petites.