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CHAPITRE III.

Je pourrais même ajouter qu’il en est encore de même pour chacune des racines d’ordre impair.

L’existence des solutions périodiques une fois démontrée, il reste à faire voir que ces solutions peuvent se développer suivant les puissances de $\mu$ et s’écrire

$x_{i}=\theta _{i,0}(t)+\mu \theta _{i,1}(t)+\mu ^{2}\theta _{i,2}(t)+\dots \qquad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n).$

$\theta _{i,0}(t),\,\theta _{i,1}(t),\,\dots ,$ étant des fonctions périodiques de $t$ développables selon les sinus et cosinus des multiples de

${\frac {2\pi t}{\mathrm {T} +\tau }}\cdot$

D’après le théorème du n^o 28, nous aurons

$x_{i}=\mathrm {H} _{i}[t-t_{1},\,\mu ,\,x_{1}^{0}-\varphi _{1}(0),\,x_{2}^{0}-\varphi _{2}(0),\,\dots ,\,x_{n}^{0}-\varphi _{n}(0)],$

si $x_{1}^{0},\,x_{2}^{0},\,\dots ,\,x_{n}^{0}$ sont les valeurs initiales de $x_{1},$ $x_{2},$ $\dots ,$ $x_{n}$ pour $t=0.$

$\mathrm {H} _{i}$ sera développable suivant les puissances de

$t-t_{1},\quad \mu \quad \mathrm {et} \quad x_{i}^{0}-\varphi _{i}(0),$

si $\mu$ est assez petit et si $t$ est assez voisin de $t_{1},$ et $x_{i}^{0}$ de $\varphi _{i}(0).$

Nous prendrons

$t=t_{1}+{\frac {t_{1}\tau }{\mathrm {T} }}\cdot$

De plus, nous prendrons

$x_{i}^{0}-\varphi _{i}(0)=\beta _{i}.$

Nous choisirons les $\beta _{i}$ et $\tau$ de façon à obtenir une solution périodique, c’est-à-dire de façon à satisfaire aux équations (9). Nous venons de voir que, si $\tau$ et les $\beta _{i}$ satisfont à ces équations (9), on pourra développer $\tau ,$ $\beta _{1},$ $\beta _{2},$ $\dots ,$ $\beta _{n}$ suivant les puissances croissantes de $\mu ,$ et que $\tau$ et les $\beta _{i}$ s’annuleront avec $\mu .$

On aura donc

$x_{i}=\mathrm {H} _{i}\left({\frac {t_{1}\tau }{\mathrm {T} }},\,\mu ,\,\beta _{1},\,\beta _{2},\,\dots ,\,\beta _{n}\right)=\mathrm {K} _{i}(\mu ),$

$\mathrm {K} _{i}$ étant une fonction développée suivant les puissances de $\mu .$