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SOLUTIONS PERIODIQUES.
ne dépend pas seulement de
il dépend encore de
nous écrirons donc
![{\displaystyle x_{i}=\mathrm {K} _{i}(t_{1},\mu ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69f9d3bb59726bfd5c0d64eddbb835615a31bde)
en rappelant toutefois que
est développé suivant les puissances
de
mais non pas suivant celles de ![{\displaystyle t_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6f217ae27b7ea7277d5b9f4273cf41c78a5bfa)
Cela posé, quand on augmente
de
on augmente
de
et, comme on s’est arrangé de manière à avoir une solution
périodique de période
ne doit pas changer ; on a donc
(10)
|
|
|
étant développable suivant les puissances de
on peut écrire
![{\displaystyle \mathrm {K} _{i}(t_{1},\,\mu )=\theta _{i,0}+\theta _{i,1}\mu +\theta _{i,2}\mu ^{2}+\dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8627d650c6e31919cdd4a5a2e4d6504147e890e)
ne dépendant que de
L’identité (10) montre alors que
ne change pas quand on change
en
Donc
est une fonction périodique et peut se développer suivant les
sinus et les cosinus des multiples de
C.Q.F.D.
Cas où le hessien est nul.
43.Il peut y avoir difficulté dans le cas où le hessien de
est nul.
Voici comment il est permis, dans un assez grand nombre de
cas, de tourner la difficulté.
Supposons que le hessien de
par rapport aux variables
soit
nul, mais que l’on puisse trouver une fonction de
que l’on appellera
et dont le hessien ne soit pas nul.
Nous allons transformer les équations (1) de la manière suivante.
Ces équations admettent l’intégrale des forces vives qui s’écrit
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a11cbada637750a1082fc51136690e4be094478)
Soit
la dérivée de la fonction
on aura pour ![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ba5d7e8164637d0c8fece5ff8455278e883e37)
![{\displaystyle \varphi '(\mathrm {F} )=\varphi '(\mathrm {C} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597ca6a9b832884b50fa0b134c5184168f24d97b)