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CHAPITRE III.
Calcul direct des séries.
44.Nous venons de démontrer que les équations (1) du no 43
admettent des solutions périodiques, et que ces solutions peuvent
être développées suivant les puissances de
Cherchons maintenant à former effectivement ces développements,
dont nous avons ainsi démontré d’avance l’existence et la
convergence.
Je commence par observer qu’on peut, dans le calcul de ces
développements, introduire une importante modification. Nous
avons introduit plus haut trois nombres :
tels que
soient multiples de et par conséquent commensurables entre
eux. Ces trois nombres caractérisent la solution périodique envisagée.
Je dis que l’on peut toujours, quand on étudie une solution
périodique particulière, supposer que
Supposons, en effet, qu’il n’en soit pas ainsi. Nous changerons
de variables en posant
Les équations (avec les nouvelles variables et ) conserveront
la forme canonique.
Si, de plus, les les les sont entiers et que leur
déterminant soit égal à 1, la fonction périodique par rapport aux
sera également périodique par rapport aux
Si nous appelons ce que deviennent les trois nombres
caractéristiques et après le changement de variables,