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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

ces trois nombres nous seront donnés par les équations

${\begin{aligned}n_{1}&=\alpha _{1}n'_{1}+\alpha _{2}n'_{2}+\alpha _{3}n'_{3},\\n_{2}&=\beta _{1}n'_{1}+\beta _{2}n'_{2}+\beta _{3}n'_{3},\\n_{3}&=\gamma _{1}n'_{1}+\gamma _{2}n'_{2}+\gamma _{3}n'_{3};\end{aligned}}$

comme $n_{1},$ $n_{2}$ et $n_{3}$ sont commensurables entre eux, on peut évidemment choisir les entiers $\alpha ,$ $\beta$ et $\gamma$ de telle sorte que

$n'_{2}=n'_{3}=0.$

Il est donc toujours permis de supposer

$n_{2}=n_{3}=0\,;$

c’est ce que nous ferons désormais.

Nous allons donc chercher à satisfaire aux équations (1) en faisant

(2)

$\left\{{\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}^{0}+\mu x_{1}^{1}+\mu ^{2}x_{1}^{2}+\ldots ,\\x_{2}&=x_{2}^{0}+\mu x_{2}^{1}+\mu ^{2}x_{2}^{2}+\ldots ,\\x_{3}&=x_{3}^{0}+\mu x_{3}^{1}+\mu ^{2}x_{3}^{2}+\ldots ,\\y_{1}&=y_{1}^{0}+\mu y_{1}^{1}+\mu ^{2}y_{1}^{2}+\ldots ,\\y_{2}&=y_{2}^{0}+\mu y_{2}^{1}+\mu ^{2}y_{2}^{2}+\ldots ,\\y_{3}&=y_{3}^{0}+\mu y_{3}^{1}+\mu ^{2}y_{3}^{2}+\ldots ,\end{aligned}}\right.$

les $x_{i}^{k}$ et les $y_{i}^{k}$ étant des fonctions périodiques du temps de période $\mathrm {T} .$ Les $x_{i}^{0}$ sont des constantes telles que

${\frac {d}{dx_{i}^{0}}}\mathrm {F} _{0}(x_{1}^{0},x_{2}^{0},x_{3}^{0})=-n_{i},\qquad n_{2}=n_{3}=0,$

et l’on a d’autre part

$y_{i}^{0}=n_{i}t+\varpi _{i},$

d’où

$y_{2}^{0}=\varpi _{2},\quad y_{3}^{0}=\varpi _{3},$

$\varpi _{1},$ $\varpi _{2}$ et $\varpi _{3}$ étant des constantes que nous nous réservons de déterminer plus complètement dans la suite.

L’origine du temps restant arbitraire, nous pourrons la choisir de telle façon que $y_{1}=0$ quel que soit $\mu$ pour $t=0.$ Il en résulte que $y_{1}^{0},$ $y_{1}^{1},$ $y_{1}^{2},$ $\ldots$ seront nuls à la fois pour $t=0$ et que $\varpi _{1}=0.$

Dans $\mathrm {F} ,$ à la place des $x$ et des $y,$ substituons leurs valeurs (2),