127
SOLUTIONS PÉRIODIQUES.
De ces deux équations, on peut tirer et à moins que le hessien
de par rapport à et ne soit nul.
Si l’on donne aux les valeurs ainsi obtenues, les deux dernières équations (10) nous
donneront et sous la forme suivante
les étant des fonctions périodiques de entièrement connues et
les étant de nouvelles constantes d’intégration.
Pour trouver nous pouvons, au lieu d’employer la première
des équations (10), nous servir des considérations suivantes :
Les équations (1) admettent une intégrale
étant une constante d’intégration que je supposerai développée
suivant les puissances de en écrivant
de sorte que l’on a
étant autant de constantes différentes.
Le premier membre de l’équation
dépend des des des des de
et de qui sont des
fonctions connues de et de que nous n’avons pas encore calculée.
De cette équation, nous pourrons donc tirer sous la forme suivante
sera une fonction périodique de entièrement déterminée et
est une constante qui dépend de de et de
.
Nous pouvons conclure de là que la première des équations (11)
doit être satisfaite et par conséquent que ces trois équations (11)
ne sont pas distinctes.
Prenons maintenant les équations (5′) et faisons-y nous
obtiendrons trois équations qui nous permettront de déterminer