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CHAPITRE III.

les constantes $\mathrm {C} _{1}^{1},$ $\mathrm {C} _{1}^{2}$ et $\mathrm {C} _{1}^{3}$ et d’où l’on tirera en outre les $y_{i}^{2}$ sous la forme

${\begin{aligned}y_{1}^{2}&=\eta _{1}^{2}+k_{1}^{2},&y_{2}^{2}&=\eta _{2}^{2}+k_{2}^{2},&y_{3}^{2}&=\eta _{3}^{2}+k_{3}^{2},\end{aligned}}$

les $y$ étant des fonctions périodiques de $t$ entièrement connues et les $k$ étant trois nouvelles constantes d’intégration.

Reprenons ensuite les équations (4′) en y faisant $k=3\,;$ si nous supposons $k_{1}^{2}=0,$ nous pourrons tirer des trois équations ainsi obtenues, d’abord les deux constantes $k_{2}^{2}$ et $k_{3}^{2},$ puis les $x_{i}^{3},$sous forme

$x_{i}^{3}=\xi _{i}^{3}+\mathrm {C} _{i}^{3},$

les $\xi$ étant des fonctions périodiques connues de $t$ et les $\mathrm {C} _{i}^{3}$ étant trois nouvelles constantes d’intégration.

Et ainsi de suite.

Voilà un procédé pour trouver des séries ordonnées suivant les puissances de $\mu ,$ périodiques de période $\mathrm {T}$ par rapport au temps et satisfaisant aux équations (1). Ce procédé ne serait en défaut que si le hessien de $\mathrm {F} _{0}$ par rapport aux $x_{i}^{0}$ était nul ou si le hessien de $[\mathrm {F} _{1}]$ par rapport à $\varpi _{2}$ et $\varpi _{3}$ était nul.

Démonstration directe de la convergence.

45.Il pourrait être utile de connaître une démonstration directe de la convergence des séries que nous venons de former et dont nous avions préalablement démontré, dans le n^o 28, l’existence et la convergence. Je donnerai d’abord cette démonstration directe dans un cas particulier.

Soit

(1)

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\mu f(x,y)$

une équation différentielle ; nous avons vu au n^o 2 que cette équation (considérée par M. Gyldén, puis par M. Lindstedt dans leurs recherches sur la Mécanique céleste) peut être regardée comme un cas particulier des équations de la Dynamique avec 2 degrés de liberté seulement.

Je supposerai que $f(x,y)$ peut être développé suivant les puis-