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CHAPITRE III.

Cela posé, imaginons que nous ayons déterminé par un calcul préalable

(2)

$\left\{{\begin{array}{rrrc}\eta _{1},&\eta _{2},&\dots ,&\eta _{n},\\\ [y_{1}],&[y_{2}],&\dots ,&[y_{n-1}],\end{array}}\right.$

et, par conséquent aussi, $y_{1},$ $y_{2},$ $\dots ,$ $y_{n-1},$ et que nous nous proposions de calculer $\eta _{n+1}$ et $[y_{n}].$

La relation $[\varphi _{n}]=0$ peut s’écrire

$[\theta _{n}]+[f_{1}\eta _{n}]+[f_{1}][y_{n}]=0.$

Dans cette équation $[\theta _{n}]$ et $[f_{1}\eta _{n}]$ peuvent être regardés comme connus, puisque les quantités (2) sont connues ; $[f_{1}]$ est une constante donnée ; on peut donc en tirer $[y_{n}].$

On a ensuite

${\frac {d^{2}y_{n+1}}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}\eta _{n+1}}{dx^{2}}}=\varphi _{n}.$

Si je pose

$\varphi _{n}=\sum _{m=1}^{\infty }\mathrm {A} _{m}\cos {mx}+\sum _{m=1}^{\infty }\mathrm {B} _{m}\sin {mx},$

il viendra

$\eta _{n+1}=-\sum {\frac {\mathrm {A} _{m}}{m^{2}}}\cos {mx}-\sum {\frac {\mathrm {B} _{m}}{m^{2}}}\sin {mx}.$

Les $\eta ,$ les $[y]$ et les $y$ peuvent donc se calculer de la sorte par récurrence.

Il résulte de là que, si $\psi$ est une fonction périodique de $x,$ telle que l’on ait, en reprenant la notation du n^o 20, complétée au n^o 35,

$\varphi _{n}\ll \psi ,\quad (\arg {e^{\pm ix}}),$

on aura a fortiori

$\eta _{n+1}\ll \psi ,\quad (\arg {e^{\pm ix}}).$

Nous écrirons dans ce qui va suivre

$\theta =f-f_{0}-f_{1}y=f_{2}y_{2}+f_{3}y_{3}+\dots ,$

de telle sorte que

$\mu (\theta y_{1}+\mu ^{2}y_{2}+\mu ^{3}y_{3}+\dots )=\theta _{2}\mu ^{2}+\theta _{3}\mu ^{3}+\dots +\theta _{n}\mu ^{n}+\dots ,$