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SOLUTIONS PERIODIQUES.

Cela posé, soit $f'$ une fonction de $x$ et de $y$ de même forme que $f,$ c’est-à-dire telle que

$f'=f'_{0}+f'_{1}y+f'_{2}y^{2}+\dots ,$

$f'_{0},\,f'_{1},\,f'_{2},\,\dots$ étant des fonctions périodiques de $x,$ et supposons de plus que l’on ait

$f\ll f'\quad (\arg y,e^{\pm ix}).$

Si nous posons ensuite

$f'(\mu y_{1}+\mu ^{2}y_{2}+\mu ^{3}y_{3}+\dots )=\varphi '_{0}+\mu \varphi '_{1}+\dots +\mu ^{n}\varphi '_{n}+\dots ,$

il viendra

$\varphi _{n}\ll \varphi '_{n}\quad (\arg y_{1},\,y_{2},\,\dots ,\,y_{n},\,e^{\pm ix})$

Nous poserons également

$\theta '=f'-f'_{0}-f'_{1}y,$

$\theta '(\mu y_{1}+\mu ^{2}y_{2}+\mu ^{3}y_{3}+\dots )=\theta '_{2}\mu ^{2}+\theta '_{3}\mu ^{3}+\dots +\theta '_{n}\mu ^{n}+\dots$

d’où

$\theta _{n}\ll \theta '_{n}.$

Nous écrirons enfin

$\left|{\frac {1}{[f_{1}]}}\right|=\lambda .$

Soient maintenant $y',$ $\eta '$ et $z$ trois fonctions inconnues liées par la relation

$y'=\eta '+z$

et développées suivant les puissances de $\mu ,$ de sorte que

${\begin{alignedat}{5}y'&=\mu y'_{1}&{}+{}&\mu ^{2}y'_{2}&{}+{}&\dots ,\\\eta '&=\mu \eta '_{1}&{}+{}&\mu ^{2}\eta '_{2}&{}+{}&\dots ,\\z&=\mu z_{1}&{}+{}&\mu ^{2}z_{2}&{}+{}&\dots .\end{alignedat}}$

Définissons ces fonctions par les équations suivantes

(3)

$\left\{{\begin{aligned}\eta '&=\mu f'(x,\,\eta '+z)\\z&=\lambda f'_{1}\eta '+\lambda \theta '(x,\,\eta '+z)\,;\end{aligned}}\right.$

on trouvera tout d’abord

$\eta '_{1}=\varphi '_{0}\,;$