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CHAPITRE III.

$x_{i}^{0}$ et $\varpi _{i}$ les valeurs qui correspondent à ce maximum ou à ce minimum, on satisfera aux équations (6).

Cette solution du système (6) nous conduit-elle à des solutions périodiques existant encore pour les petites valeurs de $\mu \,?$

Il suffit pour cela que le déterminant fonctionnel des équations (4) ne s’annule pas pour

$\mu =\beta _{i}=\beta '_{i}=0.$

Or $\psi _{1}$ et $\psi _{2}$ ne dépendent (quand on fait $\mu =0$) que de $\beta _{1}$ et $\beta _{2},$ car $\mathrm {F} _{0}$ et ses deux diviseurs $-n_{1}$ et $-n_{2}$ ne sont fonctions que de $x_{1}^{0}+\beta _{1}$ et $x_{2}^{0}+\beta _{2}.$

Ce déterminant fonctionnel est donc le produit de deux autres.

1^o De celui de $\psi '_{1}$ et $\psi '_{2}$ par rapport à $\beta _{1}$ et $\beta _{2}$ (mais ce n’est autre chose que le hessien de $\mathrm {F} _{0}$ par rapport à $x_{1}$ et $x_{2},$ que nous supposons différent de 0).

2^o de celui de

(7)

${\frac {\psi _{2}}{\mu }},\quad {\frac {\psi _{3}}{\mu }},\quad {\frac {\psi _{4}}{\mu }},\quad {\frac {\psi '_{3}}{\mu }},\quad {\frac {\psi '_{4}}{\mu }}$

par rapport à

$\beta _{3},\quad \beta _{4},\quad \beta '_{2},\quad \beta '_{3},\quad \beta '_{4}.$

Or les quantités (7) sont des fonctions de

$x_{3}^{0}+\beta _{3},\quad x_{4}^{0}+\beta _{4},\quad \varpi _{2}+\beta '_{2},\quad \varpi _{3}+\beta '_{3},\quad \varpi _{4}+\beta '_{4}.$

La dérivée de l’une quelconque des quantités (7) par rapport à $\beta _{i}$ ou $\beta '_{i}$ est égale à sa dérivée par rapport à $x_{i}^{0}$ ou à $\varpi _{i}.$

Le déterminant cherché est donc le déterminant fonctionnel des quantités (7) par rapport à

(8)

$x_{3}^{0},\quad x_{4}^{0},\quad \varpi _{2},\quad \varpi _{3},\quad \varpi _{4}.$

Mais nous devons calculer les valeurs de ce déterminant pour

$\mu =\beta _{i}=\beta '_{i}=0.$

Mais, quand $\mu ,\beta _{i}$ et $\beta '_{i}$ s’annulent, les quantités (7) se réduisent aux premiers membres des équations (6).

Notre déterminant n’est donc autre chose que le hessien de $\mathrm {R}$ par rapport aux variables (8).