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CHAPITRE III.

toujours choisir une variable $\varphi ,$ telle que $\mathrm {H} _{0}$ et les deux radicaux (2) soient des fonctions doublement périodiques de $\varphi .$

Ainsi $\mathrm {R}$ est une fonction uniforme, périodique et finie, de trois variables seulement (puisque $\Lambda _{0}$ $\Lambda '_{0}$ et $\mathrm {C}$ sont considérés comme données, et que $l_{0}=0$), à savoir de $l'_{0},$ $h_{0}$ et $\varphi .$

Cette fonction admet donc au moins un maximum et un minimum, de sorte qu’il y a toujours au moins deux solutions périodiques de la deuxième sorte.

On sait que le développement de la fonction perturbatrice $\mathrm {F} _{1}$ ne contient que des cosinus, de sorte que la quantité que nous venons d’appeler $k$ est toujours nulle.

Si donc on fait

$l_{0}=l'_{0}=h_{0}=0,$

on aura

${\frac {d\mathrm {R} }{dl'_{0}}}={\frac {d\mathrm {R} }{dh_{0}}}=0\,;$

il restera à satisfaire à l’équation

${\frac {d\mathrm {R} }{d\mathrm {H} _{0}}}=0$

ou, ce qui revient au même, à

${\frac {d\mathrm {R} }{d\varphi }}=0.$

Cela sera toujours possible, car $\mathrm {R}$ est une fonction périodique de $\varphi$ qui doit avoir au moins un maximum et un minimum.

Il existe donc toujours au moins deux solutions de la deuxième sorte, pour lesquelles

$l_{0}=l'_{0}=h_{0}=0.$

Si $\mu =0,$ les valeurs initiales de $l,$ $l'$ et $h$ sont donc nulles, ce qui revient à dire qu’il y a conjonction symétrique.

Par un raisonnement tout pareil à celui du n^o 40 (p. 102) on en conclurait qu’il y a encore conjonction symétrique pour les petites valeurs de $\mu ,$ et que, si au début de la période on a conjonction symétrique, il en est encore de même au milieu de la période.

Parmi les solutions périodiques de la deuxième sorte, il y en a donc toujours qui admettent des conjonctions (ou oppositions)