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CHAPITRE III.

Pour cela, nous l’avons vu, il suffit de choisir

$\lambda _{0}^{\star },\quad \xi _{0}^{\star }\quad \mathrm {et} \quad \eta _{0}^{\star },$

de telle façon que $\mathrm {R}$ soit maximum ou minimum ; nous savons d’autre part que $\Lambda _{0}$ et $\Lambda '_{0}$ doivent être regardés comme des données et que l’on peut toujours supposer que $l'_{0}$ est nul. Si $\mathrm {R}$ atteint son maximum pour $\Lambda _{0}=\mathrm {H} _{0},$ avec les nouvelles variables, ce maximum sera atteint pour

$\xi _{0}^{\star }=\eta _{0}^{\star }=0.$

Mais cette fois il n’y a plus de difficulté, parce que $\mathrm {R}$ est une fonction holomorphe de $\xi _{0}^{\star }$ et de $\eta _{0}^{\star }$ développable suivant les puissances de ces variables, tandis que la difficulté provenait avec les anciennes variables de ce que $\mathrm {R}$ cesse d’être une fonction holomorphe de $\mathrm {H} _{0}$ pour $\Lambda _{0}=\mathrm {H} _{0}$ et est développable, non pas suivant les puissances entières de $\Lambda _{0}=\mathrm {H} _{0},$ mais suivant celles de ${\sqrt {\Lambda _{0}-\mathrm {H} _{0}}}.$

Les résultats du présent numéro subsisteraient donc alors même que la fonction $\mathrm {R}$ atteindrait son maximum pour $\Lambda _{0}=\mathrm {H} _{0},$ ou plus généralement quand $\mathrm {H} _{0}$ atteint l’une des limites qui lui sont assignées par les inégalités (3).

Solution de la troisième sorte.

48.Cherchons maintenant à déterminer les solutions périodiques de la troisième sorte, c’est-à-dire celles pour lesquelles les inclinaisons ne sont pas nulles.

Adoptons les variables du n^o 16, c’est-à-dire

${\begin{array}{cccc}\beta \mathrm {L} =\Lambda ,&\beta '\mathrm {L'} =\Lambda ',&\beta \Gamma =\mathrm {H} ,&\beta '\Gamma '=\mathrm {H} ',\\l,&l',&g,&g'.\\\end{array}}$

Supposons d’abord $\mu =0$ et soient

${\begin{array}{cccc}\Lambda _{0},&\Lambda '_{0},&\mathrm {H} _{0},&\mathrm {H} '_{0},\\l_{0},&l'_{0},&g_{0},&g'_{0}\end{array}}$

les valeurs initiales de ces huit variables. Si $\Lambda _{0}$ et $\Lambda '_{0}$ sont choisis