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CHAPITRE III.

à-dire en posant

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {H} _{0}}{\beta }}=\mathrm {G} _{0}&=\mathrm {L} _{0}{\sqrt {1-e^{2}}},&\mathrm {G} '_{0}&=\mathrm {L} '_{0}{\sqrt {1-e'^{2}}}={\frac {\mathrm {H} '_{0}}{\beta '}},\\\Theta _{0}&=\mathrm {G} _{0}\cos i,&\Theta '_{0}&=\mathrm {G} '_{0}\cos i',\end{aligned}}$

de telle sorte que l’une des équations des aires devienne

(6)

$\beta \,\mathrm {L} _{0}{\sqrt {1-e^{2}}}\sin i+\beta '\,\mathrm {L} '_{0}{\sqrt {1-e'^{2}}}\sin i'=0,$

et l’autre

(7)

$\beta \,\mathrm {L} _{0}{\sqrt {1-e^{2}}}\cos i+\beta '\,\mathrm {L} '_{0}{\sqrt {1-e'^{2}}}\cos i'=c.$

Il s’agit maintenant de chercher les maxima de $\mathrm {R}$ considérée comme fonction de $e,$ $e',$ $i$ et $i',$ ces quatre variables étant supposées liées entre elles par les équations des aires (6) et (7). Nous pouvons donc écrire les équations auxquelles nous serons conduits et qui, jointes à (7), doivent déterminer $e,$ $e',$ $i$ et $i'$ sous la forme suivante (où $k$ désigne une quantité auxiliaire) :

(8)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial e}}&=k\,\beta \,\mathrm {L} _{0}{\frac {e\cos i}{\sqrt {1-e^{2}}}},\\{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial i}}&=k\,\beta \,\mathrm {L} _{0}\sin i{\sqrt {1-e^{2}}},\\{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial e'}}&=k\,\beta '\,\mathrm {L} '_{0}{\frac {e'\cos i'}{\sqrt {1-e'^{2}}}},\\{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial i'}}&=k\,\beta '\,\mathrm {L} '_{0}\sin i'{\sqrt {1-e'^{2}}}.\end{aligned}}\right.$

Est-il possible de satisfaire à ces équations ? Pour nous en rendre compte voyons quelle est la forme de la fonction $\mathrm {R} .$ J’observe d’abord que cette fonction ne dépend de $i$ et de $i'$ que par leur différence $i-i',$ de telle sorte que l’on a

${\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial i}}+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial i'}}=0.$

Ensuite $\mathrm {R}$ se présentera, sous la forme d’une série développée suivant les puissances croissantes de $e,$ $e',$ $i$ et $i',$ de telle sorte que le terme général du développement sera de la forme suivante (à un coefficient près, ne dépendant que de $\mathrm {L} _{0}$ et $\mathrm {L'} _{0}$) :

$e^{\alpha _{1}}e'^{\alpha _{2}}i^{\alpha _{3}}i'^{\alpha _{4}}\cos(\gamma _{1}l_{0}+\gamma _{2}l'_{0}+\gamma _{3}g_{0}+\gamma _{4}g'_{0}).$