et les solutions périodiques auxquelles ils conduiraient ne différeraient pas des solutions de la seconde sorte étudiées au numéro précédent. Mais les deux premiers peuvent être conservés et conduisent à des solutions périodiques nouvelles pour lesquelles les inclinaisons ne sont pas nulles, et que l’on peut appeler solutions de la troisième sorte.
Les deux développements ne conduisent pas d’ailleurs à deux solutions périodiques réellement distinctes.
Nous avons étudié plus spécialement les solutions pour lesquelles on a
ces équations expriment qu’il y a conjonction symétrique au début de la période dans le cas de
Un raisonnement, tout semblable à celui du no 40, montrerait que, pour toutes les valeurs de il y a encore conjonction symétrique au début et au milieu de chaque période.
Cela ne veut pas dire qu’il n’existe pas également des solutions périodiques de la troisième sorte pour lesquelles il n’y ait pas de conjonction symétrique ; il pourrait se faire, en effet, que la fonction admît d’autres maxima ou minima que ceux qui correspondent au cas de Il y aurait donc lieu de revenir sur cette question.
Applications des solutions périodiques.
49.Il est, comme nous l’avons dit, infiniment peu probable que, dans aucune application pratique, les conditions initiales du mouvement se trouvent être précisément celles qui correspondent à une solution périodique. Il semble donc que les considérations exposées dans ce Chapitre doivent nécessairement rester stériles. Il n’en est rien ; elles ont déjà été utiles à l’Astronomie et je ne doute pas que les astronomes n’y aient souvent recours à l’avenir.
Je montrerai dans le Chapitre suivant comment on peut prendre une solution périodique comme point de départ d’une série d’approximations successives, et étudier ainsi les solutions qui en diffèrent fort peu. L’utilité des solutions périodiques paraîtra alors évidente.
