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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

$\iota -\iota _{0},$ $\iota '-\iota '_{0},$ $k-k_{0}$ (si ces quantités sont assez petites en valeur absolue), quelles que soient les constantes $\varepsilon _{0},$ $\varepsilon '_{0},$ $\iota _{0},$ $\iota '_{0},$ $k_{0}.$

Pour $\rho =0,$ ces équations se réduisent à

(11)

$\left\{{\begin{aligned}{\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} ^{(1)}\varepsilon \,-{\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} ^{(2)}\varepsilon '&=k\,\beta \,\mathrm {L} _{0}\varepsilon ,\\{\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} ^{(1)}\varepsilon '-{\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} ^{(2)}\varepsilon \,&=k\,\beta '\,\mathrm {L} '_{0}\varepsilon ',\\{\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} ^{(1)}(\iota '-\iota )&=k\,\beta \,\mathrm {L} _{0}\iota ,\\\beta \,\mathrm {L} _{0}\iota +\beta '&\mathrm {L} '_{0}\iota '=0,\\\beta \,\mathrm {L} _{0}(\varepsilon ^{2}+\iota ^{2})+\beta '&\mathrm {L} '_{0}(\varepsilon '^{2}+\iota '^{2})=1.\end{aligned}}\right.$

Les équations (11) comportent six solutions, à savoir :

(12)

$\left\{{\begin{aligned}k&={\frac {-1}{+4}}\mathrm {B} ^{(1)}\left({\frac {1}{\beta \,\mathrm {L} _{0}}}+{\frac {1}{\beta '\,\mathrm {L} '_{0}}}\right),\qquad \varepsilon =\varepsilon '=0,\qquad \iota ={\frac {\beta '\,\mathrm {L} '_{0}}{h}},\\\iota '&={\frac {-\beta \,\mathrm {L} _{0}}{h}},\qquad h=+{\sqrt {\beta \beta '\mathrm {L} _{0}\mathrm {L} '_{0}(\beta \,\mathrm {L} _{0}+\beta '\,\mathrm {L} '_{0})}},\\[1.5ex]k&={\frac {-1}{+4}}\mathrm {B} ^{(1)}\left({\frac {1}{\beta \,\mathrm {L} _{0}}}+{\frac {1}{\beta '\,\mathrm {L} '_{0}}}\right),\qquad \varepsilon =\varepsilon '=0,\qquad \iota ={\frac {\beta '\,\mathrm {L} '_{0}}{h}},\\\iota '&={\frac {-\beta \,\mathrm {L} _{0}}{h}},\qquad h=-{\sqrt {\beta \beta '\,\mathrm {L} _{0}\mathrm {L} '_{0}(\beta \,\mathrm {L} _{0}+\beta '\,\mathrm {L} '_{0})}},\\[1.5ex]k&=\;\;\;k_{1},\qquad \iota =\iota '=0,\qquad \varepsilon =\;\;\;\varepsilon _{1},\qquad \varepsilon '=\;\;\;\varepsilon '_{1},\\k&=-k_{1},\qquad \iota =\iota '=0,\qquad \varepsilon =-\varepsilon _{1},\qquad \varepsilon '=-\varepsilon '_{1},\\k&=\;\;\;k_{2},\qquad \iota =\iota '=0,\qquad \varepsilon =\;\;\;\varepsilon _{2},\qquad \varepsilon '=\;\;\;\varepsilon '_{2},\\k&=\;\;\;k_{2},\qquad \iota =\iota '=0,\qquad \varepsilon =-\varepsilon _{2},\qquad \varepsilon '=-\varepsilon '_{2}.\end{aligned}}\right.$

Chacune de ces six solutions est simple, d’où nous pouvons conclure, d’après ce que nous avons vu au n^o 30, que l’on peut de six manières différentes développer $\varepsilon ,$ $\varepsilon ',$ $\iota$ et $\iota ',$ et par conséquent $e,$ $e',$ $i$ et $i',$ suivant les puissances croissantes de $\rho .$

Nous pouvons donc écrire:

(13)

${\begin{aligned}e&=f_{1,\lambda }(\rho ),&e'&=f_{2,\lambda }(\rho ),&i&=f_{3,\lambda }(\rho ),&i'&=f_{4,\lambda }(\rho ),\end{aligned}}$

l’indice $\lambda$ pourra prendre les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 et 6 ; on prendra $\lambda =1,$ quand on prendra pour point de départ la première des solutions (12) ; on prendra $\lambda =2$ quand on choisira pour point de départ la seconde des solutions (12) et ainsi de suite.

Des six développements (13), les quatre derniers doivent être rejetés, car ils donnent

$i-i'=0,$