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CHAPITRE III.
Pour cela commençons par supposer que l’unité de longueur ait
été choisie de telle sorte que
![{\displaystyle {\frac {\mu }{3n^{2}}}=1,\qquad \mu =3n^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb7d30a6da12e8f4ef840da78265a12ecda3b686)
et que l’unité de temps ait été choisie de telle sorte que
![{\displaystyle n=1+\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45158a2599189d14b2e7bdb203b1e6fa48136831)
étant un paramètre très petit.
Si nous posons
le système (1) peut être remplacé par
le suivant, qui est analogue au système (1) du numéro précédent.
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}{\frac {dx}{dt}}&=x'&{\frac {dx'}{dt}}&=&&2(1+\alpha )\eta '&{}+{}&3(1+\alpha )^{2}(x+1)\left({\frac {1}{r^{3}}}-1\right),\\{\frac {d\eta }{dt}}&=\eta '&\qquad {\frac {d\eta '}{dt}}&=-&&2(1+\alpha )x'&{}+{}&3(1+\alpha )^{2}{\frac {\eta }{r^{3}}}\cdot \end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95231f1c4e336dd14f8efde4bb878c08e081bdbc)
Si nous formons ensuite l’équation en
du numéro précédent il vient
![{\displaystyle \mathrm {S} ^{4}-2\mathrm {S} ^{2}-27=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/216336d6706f813314bca6671807c5be3cde6d8b)
Cette équation admet deux racines réelles et deux racines imaginaires
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {S} _{1}&=\;\;\;{\sqrt {-1}}{\sqrt {{\sqrt {28}}-1}}.\\\mathrm {S} _{2}&=-{\sqrt {-1}}{\sqrt {{\sqrt {28}}-1}}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d1c4cfc430a189cb9f693069916f3bca752545)
Si alors nous prenons
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {2\pi }{\sqrt {{\sqrt {28}}-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/031e466cfe831816609deaf47abd1f199f412285)
il vient
![{\displaystyle e^{\mathrm {S} _{1}\mathrm {T} }=e^{\mathrm {S} _{2}\mathrm {T} }=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b044778a186b62b04292da21b4546050724b016)
Le déterminant
du numéro précédent est donc nul.
On peut donc former des séries ordonnées suivant les puissances
fractionnaires de
(ici ces séries seraient ordonnées suivant les
puissances entières de
) et qui, substituées à la place des
satisfont aux équations (2) du numéro précédent. On vérifierait (et j’y
reviendrai plus loin) que les coefficients de ces séries sont réels.
Les équations (1) de M. Hill admettent donc des solutions pério-