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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

Les équations (2) seront ce que nous appellerons les équations aux variations des équations (1). On conçoit qu’on puisse dans une première approximation se servir de ces équations aux variations pour déterminer les $\xi .$

Ce qui précède suffit pour faire comprendre l’importance de ces équations aux variations. Nous allons donc en faire une étude détaillée, en insistant surtout sur les équations aux variations des équations de la Dynamique.

54.Reprenons les équations (1) du numéro précédent et les équations (2) qui en sont les équations aux variations.

Quand on connaît une solution des équations (1) contenant un certain nombre de constantes arbitraires, on peut en déduire des solutions particulières des équations (2).

Supposons, en effet, que les équations (1) soient satisfaites quand on y fait

(3)

$\left\{{\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1}(t,\,h_{1},h_{2},\dots ,h_{p}),\\x_{2}&=\varphi _{2}(t,\,h_{1},h_{2},\dots ,h_{p}),\\\dots &\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots .,\\x_{n}&=\varphi _{n}(t,\,h_{1},h_{2},\dots ,h_{p}),\end{aligned}}\right.$

Je suppose que la solution génératrice s’obtienne en faisant dans ces équations (3)

$h_{1}=h_{2}=\dots =h_{p}=0,$

où $h_{1},\,h_{2},\,\dots ,\,h_{p}$ sont $p$ constantes arbitraires.

Il est clair que les équations (2) admettront les $p$ solutions particulières

${\begin{aligned}\xi _{1}&={\dfrac {d\varphi _{1}}{dh_{1}}},&\xi _{2}&={\dfrac {d\varphi _{2}}{dh_{1}}},&&\dots ,&\xi _{n}&={\dfrac {d\varphi _{n}}{dh_{1}}},\\\xi _{1}&={\dfrac {d\varphi _{1}}{dh_{2}}},&\xi _{2}&={\dfrac {d\varphi _{2}}{dh_{2}}},&&\dots ,&\xi _{n}&={\dfrac {d\varphi _{n}}{dh_{2}}},\\\dots &\dots \dots .,&\dots &\dots \dots .,&&\dots ,&\dots &\dots \dots .,\\\xi _{1}&={\dfrac {d\varphi _{1}}{dh_{n}}},&\xi _{2}&={\dfrac {d\varphi _{2}}{dh_{n}}},&&\dots ,&\xi _{n}&={\dfrac {d\varphi _{n}}{dh_{n}}}\cdot \end{aligned}}$

Il faut, bien entendu, que dans ces dérivées ${\frac {d\varphi _{i}}{dh_{k}}}$ on fasse après