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CHAPITRE IV.

la différentiation

$h_{1}=h_{2}=\dots =h_{p}=0.$

Supposons maintenant que l’on connaisse une intégrale des équations (1), et soit

$\mathrm {F} (x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})=\mathrm {const.}$

cette intégrale.

On aura, pour la solution (1 bis),

$\mathrm {F} \left[\varphi _{1}(t),\,\varphi _{2}(t),\,\dots ,\,\varphi _{n}(t)\right]=c,$

et, pour la solution (1 ter),

$\mathrm {F} \left[\varphi _{1}(t)+\xi _{1},\,\varphi _{2}(t)+\xi _{2},\,\dots ,\,\varphi _{n}(t)+\xi _{n}\right]=c'.$

$c$ et $c'$ étant deux constantes numériques.

Si nous supposons que les $\xi$ soient très petits, il en sera de même de $c'-c$ et, si l’on néglige les carrés de ces quantités, il vient

(4)

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}\xi _{1}+{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}\xi _{2}+\dots {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}\xi _{n}=c'-c=\mathrm {const.}$

Dans les dérivées partielles ${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}$ il faut, bien entendu, faire après la différentiation

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1}(t),&x_{2}&=\varphi _{2}(t),&&\dots ,&x_{n}&=\varphi _{n}(t).\end{aligned}}$

L’équation (4) nous donne alors une intégrale des équations (2) ; il importe d’observer que cette intégrale contiendra en général le temps explicitement.

Ainsi, si l’on connaît une intégrale des équations (1), on peut en déduire une intégrale des équations (2).

Application à la théorie de la Lune.

55.J’ai parlé plus haut, au n^o 53, des applications possibles des équations aux variations et de leur utilité pour l’Astronomie. Un