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CHAPITRE IV.

tions (2) quand on en connaît une intégrale et réciproquement.

Supposons, en effet, que

$\xi _{i}=\alpha _{i},\qquad \eta _{i}=\beta _{i}$

soit une solution particulière des équations (2) et désignons par $\xi _{i}$ et $\eta _{i}$ une solution quelconque de ces mêmes équations. On devra avoir

${\textstyle \sum }\left(\xi _{i}\beta _{i}-\eta _{i}\alpha _{i}\right)=\mathrm {const.} ,$

ce qui sera une intégrale des équations (2).

Réciproquement, soit

${\textstyle \sum }\mathrm {A} _{i}\xi _{i}+{\textstyle \sum }\mathrm {B} _{i}\eta _{i}=\mathrm {const.}$

une intégrale des équations (2), on devra avoir

${\begin{aligned}\sideset {}{_{i}}\sum {\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dt}}\xi _{i}+\sideset {}{_{i}}\sum {\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dt}}\eta _{i}&+\sideset {}{_{i}}\sum \mathrm {A} _{i}\left(\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dx_{k}}}\xi _{k}\!+\!\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dy_{k}}}\eta _{k}\right)\\&-\sideset {}{_{i}}\sum \mathrm {B} _{i}\left(\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{k}}}\xi _{k}\!+\!\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dy_{k}}}\eta _{k}\right)\!=\!0,\end{aligned}}$

d’où en identifiant

${\begin{alignedat}{3}{\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dt}}&=-\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{k}\,dx_{i}}}\mathrm {A} _{k}&{}+{}&\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{k}\,dx_{i}}}\mathrm {B} _{k},\\{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dt}}&=-\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{k}\,dy_{i}}}\mathrm {A} _{k}&{}+{}&\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{k}\,dy_{i}}}\mathrm {B} _{k},\end{alignedat}}$

ce qui montre que

${\begin{aligned}\xi _{i}&=\mathrm {B} _{i},&\eta _{i}&=-\mathrm {A} _{i}\end{aligned}}$

est une solution particulière des équations (2).

Si maintenant

$\Phi (x_{i},\,y_{i},\,t)=\mathrm {const.}$

est une intégrale des équations (1),

$\sum {\frac {d\Phi }{dx_{i}}}\xi _{i}+\sum {\frac {d\Phi }{dy_{i}}}\eta _{i}=\mathrm {const.}$

sera une intégrale des équations (2), et par conséquent

${\begin{aligned}\xi _{i}&={\frac {d\Phi }{dy_{i}}},&\eta _{i}&=-{\frac {d\Phi }{dx_{i}}}\end{aligned}}$

sera une solution particulière de ces équations.