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CHAPITRE IV.
tions (2) quand on en connaît une intégrale et réciproquement.
Supposons, en effet, que
![{\displaystyle \xi _{i}=\alpha _{i},\qquad \eta _{i}=\beta _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6767af9f9019f001194cde350a712884b1c6ddb1)
soit une solution particulière des équations (2) et désignons par
et
une solution quelconque de ces mêmes équations. On devra avoir
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\left(\xi _{i}\beta _{i}-\eta _{i}\alpha _{i}\right)=\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf5c0105af8a1c936b0ee9791490f7f221ea7be)
ce qui sera une intégrale des équations (2).
Réciproquement, soit
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\mathrm {A} _{i}\xi _{i}+{\textstyle \sum }\mathrm {B} _{i}\eta _{i}=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bf579a03e690f577d9a65c462671dd24c192f02)
une intégrale des équations (2), on devra avoir
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {}{_{i}}\sum {\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dt}}\xi _{i}+\sideset {}{_{i}}\sum {\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dt}}\eta _{i}&+\sideset {}{_{i}}\sum \mathrm {A} _{i}\left(\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dx_{k}}}\xi _{k}\!+\!\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dy_{k}}}\eta _{k}\right)\\&-\sideset {}{_{i}}\sum \mathrm {B} _{i}\left(\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{k}}}\xi _{k}\!+\!\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dy_{k}}}\eta _{k}\right)\!=\!0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ea16805a150a22869bd38a3f7a739dd2d92ffb3)
d’où en identifiant
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dt}}&=-\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{k}\,dx_{i}}}\mathrm {A} _{k}&{}+{}&\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{k}\,dx_{i}}}\mathrm {B} _{k},\\{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dt}}&=-\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{k}\,dy_{i}}}\mathrm {A} _{k}&{}+{}&\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{k}\,dy_{i}}}\mathrm {B} _{k},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9be0a054393feaccd3f3c53af0a4c149da029e)
ce qui montre que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}&=\mathrm {B} _{i},&\eta _{i}&=-\mathrm {A} _{i}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6875f59b4b5a1a5cc1f339255db830aefb4fd096)
est une solution particulière des équations (2).
Si maintenant
![{\displaystyle \Phi (x_{i},\,y_{i},\,t)=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db7738ad26880bdce48c36d3ac6b3ec38550fe2)
est une intégrale des équations (1),
![{\displaystyle \sum {\frac {d\Phi }{dx_{i}}}\xi _{i}+\sum {\frac {d\Phi }{dy_{i}}}\eta _{i}=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9195106af4189135e4e17fcf630052e112885f)
sera une intégrale des équations (2), et par conséquent
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}&={\frac {d\Phi }{dy_{i}}},&\eta _{i}&=-{\frac {d\Phi }{dx_{i}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f663c667d17f0e70ec71cee4ba806e3d3c34c04f)
sera une solution particulière de ces équations.