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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

Si $\Phi =\mathrm {const.,} \,\Phi _{1}=\mathrm {const.}$ sont deux intégrales des équations (1), on aura

$\sum \left({\frac {d\Phi }{dx_{i}}}{\frac {d\Phi _{1}}{dy_{i}}}-{\frac {d\Phi }{dy_{i}}}{\frac {d\Phi _{1}}{dx_{i}}}\right)=\mathrm {const.}$

C’est le théorème de Poisson.

Considérons le cas particulier où les $x$ désignent les coordonnées rectangulaires de $n$ points dans l’espace ; nous les désignerons par la notation à double indice

$x_{1i},\quad x_{2i},\quad x_{3i},$

le premier indice se rapportant aux trois axes rectangulaires de coordonnées et le second indice aux $n$ points matériels. Soit $m_{i}$ la masse du $i$^ième point matériel. On aura alors

$m_{i}{\frac {d^{2}x_{ki}}{dt^{2}}}={\frac {dV}{dx_{ki}}},$

$\mathrm {V}$ étant la fonction des forces.

On aura alors pour l’équation des forces vives

$\mathrm {F} =\sum {\frac {m_{i}}{2}}\left({\frac {dx_{ki}}{dt}}\right)^{2}-\mathrm {V} =\mathrm {const.}$

Posons ensuite

$y_{ki}=m_{i}{\frac {dx_{ki}}{dt}},$

d’où

(3)

$\mathrm {F} =\sum {\frac {y_{ki}^{2}}{2m_{i}}}-\mathrm {V} =\mathrm {const.}$

et

(1′)

${\frac {dx_{ki}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{ki}}},\quad {\frac {dy_{ki}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{ki}}}\cdot$

Soit

(4)

$x_{ki}=\varphi _{ki}(t),\quad y_{ki}=m_{i}\varphi '_{ki}(t)$

une solution de ces équations (1′), une autre solution sera

$x_{ki}=\varphi _{ki}(t+h),\quad y_{ki}=m_{i}\varphi '{ki}(t+h),$

$h$ étant une constante quelconque.