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CHAPITRE IV.
ils ne peuvent s’annuler que si deux des trois quantités
et
sont nulles.
Mais ces trois quantités sont les trois racines de l’équation en
Donc, si les mineurs de
sont tous nuls, l’équation en
a deux
racines nulles.
La réciproque n’est pas vraie.
En effet, l’équation en
![{\displaystyle \left|{\begin{array}{ccc}1-\mathrm {S} &0&0\\0&-\mathrm {S} &0\\0&1&-\mathrm {S} \end{array}}\right|=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db615b085dbac8ff8d1693d77354236504f85c48)
a deux racines nulles et tous ses mineurs ne sont pas nuls.
Nous avons supposé, pour fixer les idées, que nous avions affaire
à une substitution linéaire portant sur trois variables seulement :
mais le même raisonnement s’applique, quel que soit le nombre
des variables.
Si le déterminant d’une substitution linéaire est nul, ainsi
que tous ses mineurs du premier, du second, etc., du
ième
ordre ; l’'équation en
aura
racines nulles.
58.Soient, comme dans le Chapitre précédent,
![{\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3278aed2518d36db998e294bc9133b87c6504cf)
un système d’équations différentielles. Soit
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111e611ef90227502441d4bb4069816ece40367e)
une solution périodique de ces équations de période ![{\displaystyle \mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd2ca7157c8ae9fcf10598339b774c8294d5ce)
Soit, dans une solution voisine de cette solution périodique,
la valeur de
pour
et
la valeur de
pour
Envisageons le déterminant fonctionnel des
par rapport aux
![{\displaystyle \left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&\cdots &\cdots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}\end{array}}\right|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98066d89b8d71f4f27c492009d4a9a5533c82788)