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EXPOSANTS CARACTERISTIQUES.

La substitution linéaire (3) s’appellera alors la transformée de la substitution (1).

La théorie des substitutions linéaires nous apprend :

1^o Que la nouvelle équation en $\mathrm {S}$

\left|{\begin{array}{ccc}a'_{1}-\mathrm {S} &a'_{2}&a'_{3}\\b'_{1}&b'_{2}-\mathrm {S} &b'_{3}\\c'_{1}&c'_{2}&c'_{3}-\mathrm {S} \end{array}}\right|=0

ne diffère pas de l’ancienne équation en $\mathrm {S}$ (2)' ;

2^o Que si le déterminant $\Delta$ est nul ainsi que tous ses mineurs jusqu’aux mineurs de l’ordre $p$ inclusivement, il en sera de même du déterminant

\Delta '=\left|{\begin{array}{ccc}a'_{1}&a'_{2}&a'_{3}\\b'_{1}&b'_{2}&b'_{3}\\c'_{1}&c'_{2}&c'_{3}\end{array}}\right|.\qquad

Les mineurs d’ordre $p$ de $\Delta '$ sont, en effet, des combinaisons linéaires des mineurs d’ordre $p$ de $\Delta \,;$

3^o Que l’on peut choisir les $\lambda$ de façon à ramener la substitution (2) à une forme aussi simple que possible, dite forme canonique. Voici en quoi consiste cette forme :

Si l’équation en $\mathrm {S}$ a toutes ses racines simples, on peut annuler à la fois $a'_{2},$ $a'_{3},$ $b'_{1},$ $b'_{3},$ $c'_{1},$ $c'_{2}.$

Si l’équation en $\mathrm {S}$ a une racine double, on peut annuler à la fois $a'_{2},$ $a'_{3},$ $b'_{3},$ $b'_{1},$ $c'_{1}\,;$ on a alors $b'_{2}=c'_{3}.$

Si l’équation en $\mathrm {S}$ a une racine triple, on peut s’annuler à la fois $a'_{2},$ $a'_{3}$ et $b'_{3}\,;$ on a alors $a'_{1}=b'_{2}=c'_{3}.$

Dans tous les cas, on peut toujours supposer que les $\lambda$ ont été choisis, de telle sorte que

a'_{2}=a'_{3}=b'_{3}=0.

Si l’équation en $\mathrm {S}$ a une racine nulle, $\Delta$ est nul et réciproquement.

Supposons maintenant que $\Delta$ ait tous ses mineurs du premier ordre nuls ; alors il en sera de même de $\Delta '.$ Mais comme

a'_{2}=a'_{3}=b'_{3}=0,

il y a trois des mineurs de $\Delta '$ qui se réduisent à

a'_{1}b'_{2},\quad b'_{2}c'_{3},\quad a'_{1}c'_{3}\,;