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CHAPITRE IV.

et choisir en même temps le changement de variables, de façon à satisfaire aux conditions (1) et (2).

Si donc l’équation en $\mathrm {S}$ a une racine nulle et une seule, il est toujours permis de supposer que

${\begin{alignedat}{5}{\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&={\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&=&\ldots &=&{\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}&=&0,\\[0.5ex]{\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&={\frac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&=&\ldots &=&{\frac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&=&0.\end{alignedat}}$

Définition des exposants caractéristiques.

59.Soit

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)$

un système d’équations différentielles où $\mathrm {X} _{1},\,\mathrm {X} _{2},\,\ldots ,\,\mathrm {X} _{n}$ seront des fonctions données de $x_{1},$ $x_{2},$ $\ldots ,$ $x_{n}.$ Nous pourrons supposer, ou bien que le temps $t$ n’entre pas explicitement dans ces fonctions $\mathrm {X} _{i},$ ou au contraire que ces fonctions $\mathrm {X} _{i}$ dépendent non seulement de $x_{1},$ $x_{2},$ $\ldots ,$ $x_{n}.$ mais encore du temps $t\,;$ mais dans ce dernier cas les $\mathrm {X} _{i}$ devront être des fonctions périodiques de $t.$

Imaginons que ces équations (1) admettent une solution périodique

$x_{i}=\varphi _{i}(t).$

Prenons cette solution comme solution génératrice et formons les équations aux variations (voir n^o 53) des équations (1), en posant

$x_{i}=\varphi _{i}(t)+\xi _{i}$

et négligeant les carrés des $\xi .$

Ces équations aux variations s’écriront

(2)

${\frac {d\xi _{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{1}}}\xi _{1}+{\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{2}}}\xi _{2}+\ldots +{\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{n}}}\xi _{n}.$

Ces équations sont linéaires par rapport aux $\xi ,$ et leurs coefficients ${\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{k}}}$ [quand on y a remplacé $x_{i}$ par $\varphi _{i}(t)$] sont des fonctions