177
EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.
périodiques de
Nous avons donc à intégrer des équations
linéaires à coefficients périodiques.
On a vu au no 29 quelle est en général la forme des intégrales
de ces équations ; on obtient
intégrales particulières de la forme suivante
(3)
|
|
|
les
étant des constantes et les
des fonctions périodiques
de
de même période que les ![{\displaystyle \varphi _{i}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55de163f61ff4222ee85ef522ff370cf59f4829b)
Les constantes
s’appellent les exposants caractéristiques de
la solution périodique.
Si
est purement imaginaire de façon que son carré soit négatif,
le module de
est constant et égal à 1. Si au contraire
est
réel, ou si
est complexe de telle façon que son carré ne soit pas réel,
le module
tend vers l’infini pour
ou pour
Si donc tous les
ont leurs carrés réels et négatifs, les quantités
resteront finies ; je dirai alors que la solution périodique
est stable ; dans le cas contraire, je dirai que
cette solution est instable.
Un cas particulier intéressant est celui où deux ou plusieurs
des exposants caractéristiques
sont égaux entre eux. Dans ce
cas les intégrales des équations (2) ne peuvent plus se mettre sous
la forme (3). Si, par exemple,
![{\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/530dd0df3dabb66d985bff653f52d0cff8a2342c)
les équations (2) admettraient deux intégrales particulières qui s’écriraient
![{\displaystyle \xi _{i}=e^{\alpha _{1}t}\mathrm {S_{i,1}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/741d2fa488aa39472a7c505b37cad80bf85b62a2)
et
![{\displaystyle \xi _{i}=te^{\alpha _{1}t}\mathrm {S_{i,1}} +e^{\alpha _{1}t}\mathrm {S_{i,2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d01a41a4c6cf6c210bbcce707f2e56625c2d4a)
les
et les
étant des fonctions périodiques de
(voir no 29).
Si trois des exposants caractéristiques étaient égaux entre eux,
on verrait apparaître, non seulement
mais encore
en dehors des signes trigonométriques et exponentiels.