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CHAPTIRE I.

Afin d’éviter toute confusion, nous fixerons, ainsi qu’il suit, le sens des mots solution et intégrale.

Si les équations (1) sont satisfaites quand on fait

(2)

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1}(t),&x_{2}&=\varphi _{2}(t),&&\dots ,&x_{n}&=\varphi _{n}(t),\end{aligned}}$

nous dirons que les équations (2) définissent une solution particulière des équations (1).

Si une certaine fonction de $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$,

$\mathrm {F} (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$

demeure constante en vertu des équations (1), nous dirons que cette fonction $\mathrm {F}$ est une intégrale particulière du système (1).

Il est clair que la connaissance d’une intégrale permet d’abaisser d’une unité l’ordre du système.

Dans les problèmes de Dynamique, les équations (1) se présentent sous une forme plus particulière, connue sous le nom de forme hamiltonienne ou canonique.

Les variables se répartissent en deux séries ; nous désignerons habituellement par

$x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{p}$

les variables de la première série et par

$y_{1},\,y_{2},\,\dots ,\,y_{p}$

celles de la seconde série, et les équations différentielles s’écriront

(3)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},&&(i=1,\,2,\dots ,\,p)\end{aligned}}$

$\mathrm {F}$ étant une fonction uniforme des $2p$ variables $x$ et $y$.

Ces équations admettent une intégrale particulière qui est la fonction $\mathrm {F}$ elle-même et qui est connue sous le nom d’intégrale des forces vives.

On dit que $x_{1},\ y_{1},\;x_{2},\ y_{2},\;\dots ,\;x_{p},\ y_{p}$ forment $p$ paires de variables conjuguées.

Nous dirons, à l’exemple des Anglais, que le système (3) comporte $p$ degrés de liberté. Ce système est d’ordre $2p\,;$ mais la connaissance de l’intégrale des forces vives permet d’abaisser cet ordre d’une unité ; le temps n’entrant pas explicitement dans les seconds